Приложение.

Красным цветом выделен график функции

Синим -

Черным -

Как видно из рисунка, функции y₃ и y₂ сильно отличаются от синусоидальных (y₁).

Пример 2. Рассмотрим функцию f(x) которая на промежутке [-p ; p ] определяется так (На остальную часть числовой оси функция распространяется по закону периодичности: f(x+2p )=f(x)):

Эта функция непрерывная и кусочно-монотонная и, значит, удовлетворяет условиям Дирихле. В то же время интеграл Дини в точке x=0:

Явно расходится при любом h>0. Т.е. функция не удовлетворяет условиям Дини.

Пример 3. Рассмотрим функцию, определенную на промежутке [-p ; p ] определить функцию равенствами (На остальную часть числовой оси функция распространяется по закону периодичности: f(x+2p )=f(x)):

то в точке х=0 заведомо выполняется условие Липшица: |f(x)-f(0)| £  |x|, следовательно, и условие Дини. Однако на этот раз нетрудно показать, что функция ни в какой окрестности точки х=0 не имеет ограниченного изменения.

Пример 4. Разложим функцию y=x в ряд Фурье на отрезке [-p ; p ]. Получим:

На рисунке показаны последовательные приближения функции y=x частичными суммами ряда Фурье. Здесь красным выделена функция y=x, розовым y=2 sin x, синим y=2 (sin x-sin 2x), черным. Видно, что постепенно такие тригонометрические многочлены приближают функцию.

Пример 5. Предположим, что нам надо разложить в ряд функцию, заданную на отрезке [0; p ] так: f(x)=x. Так как отрезок не симметричен относительно начала координат, значит мы можем доопределить функцию на отрезок [-p ; p ]. При этом если мы продолжим функцию нечетным образом, то получим нечетную функцию f(x)=x (разложение которой в ряд Фурье содержит только синусы и рассматривалось в предыдущем примере), если же мы продолжим ее четным образом, то получим четную функцию f(x)=|x|. Разложение этой функции в ряд Фурье выглядит так:  А последовательное ее приближение тригонометрическими полиномами выглядит так, как показано на рисунке.

Как видно, и этот ряд сходится к функции f(x)=x на отрезке [0; p ], однако он существенно отличается от ряда, полученного в предыдущем примере.

[1] Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. M, Физматгиз,1963