Математизация науки
и ее возможности
Выполнила:
аспирантка кафедры “Информационных систем” математического факультета Кукина Е.Г.Проверил:
Глава 2. Математика и естествоведение
*Нельзя не отметить огромную роль, которую математика играет и играла в различных отраслях естествознания. Развитие современного естествознания, особенно, конечно, физики, немыслимо без применения математического аппарата.
Глава 3. Математика и экономика
*В XX веке математические методы становятся очень востребованы в экономике, которая стремительно развивается. Два математика (Г.Канторович и Дж.Нэш) получили Нобелевские премии в области экономики за чисто математические исследования.
Глава 4. Прикладная математика
*Математические методы могут применяться в самых различных сферах жизни. В этой главе рассмотрены некоторые конкретные примеры применения математики в жизни.
4.1.
Моя телефонная сеть *4.2. Военное дело
*4.3. Статистические методы контроля качества
*Глава 5. Непостижимая эффективность математики
*Отдельно стоит коснуться вопроса о том, почему же математика работает, почему выводы, полученные при помощи математических методов, оказываются правильными на практике?
Глава 6. Заключение
*Литература
* ВведениеВстретив у меня непонятное место, читатель должен предположить, что под ним кроется нечто весьма полезное и глубокомысленное.
Дж.Свифт
Леонардо да Винчи, Иммануил Кант, Карл Маркс и другие философы, пытаясь определить, что же такое наука, пришли к выводу, что в любом учении научного ровно столько, сколько в нем математического. Поэтому процесс математизации неизбежен для преобразования любой отрасли знания в науку.
Есть один расхожий афоризм “Математика - это искусство давать одно и то же имя разным вещам”. Действительно, математика возникла тогда, когда люди поняли, что две овцы в принципе ничем не отличаются от двух пальцев. Специфика математического знания заключается в том, что математики не изучают непосредственно действительность, они изучают ее с помощью абстрактных объектов, которые являются идеальными моделями, образами реальных предметов и явлений. Более того, многие абстрактные объекты возникают в математике, не имея своего реального прообраза; иногда, уже после того, как объект возник и изучен в математике, находится реальный предмет, который может быть его прообразом. Так, Лобачевский изобрел гиперболическую геометрию “на бумаге” и только после его смерти был найден реальный объект - псевдосфера - на котором выполнялись законы геометрии Лобачевского. В тот момент, когда Эйнштейн предложил теорию относительности, геометрия Лобачевского уже была хорошо разработана, что позволило теории относительности развиться очень быстро.
Изучение математиками абстрактных объектов приводит к тому, что два, казалось бы, совершенно разных явления, можно описать одинаковыми математическими моделями. Возникая в одной практической задаче, абстрактный математический объект живет своей жизнью, изучается, приходит время и он становится нужен в совершенно другой своей ипостаси. Абстрактный объект возвращается в практику, но уже хорошо изученный. Нечто подобное произошло в
XX веке, когда одной из главных наук-заказчиц прикладной математики стала экономика. Многие результаты в экономике возникли простой переформулировкой естественнонаучных результатов, полученных с помощью математических методов.Не надо считать, что математизация - это простое применение каких-нибудь расчетов. Философ, исследователь связи математики с другими науками Сухотин исторически выделяет 3 этапа математизации науки:
Как мы видим, количественное описание - лишь ранний этап математизации любой науки. Все естественные и некоторые гуманитарные науки вступили уже во второй этап - этап математического моделирования. Существуют адекватные математические модели, описывающие очень большой класс явлений: от процесса распространения слухов до аэродинамических течений, возникающих под крылом самолета в момент отрыва от земли.
В современном мире математизация науки часто проявляется как компьютеризация. Задачи, которые ставят науки перед математикой так и звучат: “Как эффективно на компьютере просчитать такой-то процесс?”, “Как смоделировать на компьютере поведение такого-то объекта?” Это, как и сама математизация, тоже естественный процесс. С появлением ЭВМ у математиков появилась возможность в считанные минуты проводить вычисления, на которые раньше потребовались бы годы. Кроме того, у всех ученых появилась возможность самые нудные и неинтересные (автоматизируемые) этапы познания “сгрузить” на компьютеры, освободив тем самым время для творческой деятельности.
Наблюдения показывают, что при современных скоростях технологических процессов человеческая психика уже не способна своевременно принимать решение о дальнейшем их течении и на основании полученной информации осуществлять необходимое управление. В результате такое управление запаздывает.
Это относится не только к таким экзотическим областям деятельности, как, например, космические полеты, но и к таким обыденным процессам, как, например, производство бумаги. Запаздывание человеческой реакции приносит огромные потери. Возникает настоятельная необходимость передачи управления быстродействующим автоматам. Но для того, чтобы автомат мог управлять процессом, необходимо сначала разработать количественную теорию этого процесса, ведь машина не понимает слов: “делай лучше”, “обрабатывай точнее”, - машина должна знать точные числовые характеристики. Так прогресс в области техники неизбежно вызывает необходимость привлечения математических методов для решения насущных задач практики.Конечно же, влияние математики на другие отрасли знания сказывается прежде всего в том, что она поставляет аппарат количественной переработки конкретного материала наук. Методы, возникшие в других дисциплинах, нередко выходят за пределы специальной области, но отличие математических методов состоит в том, что они применяются повсеместно, не зная исключений. Это и делает математику особой наукой, обладающей универсальным назначением, даже не наукой, а, как часто говорят, универсальным языком науки.
В настоящей работе я собираюсь отдельно рассмотреть процессы математизации в естественных науках (особенно в физике), в экономике
XX века, а также показать несколько примеров применения математики в практических задачах. Кроме того, я хочу особо остановиться на вопросе эффективности математических методов. Математика и естествоведениеВ числах покой – это истина дураков;
В числах погибель – вот истина мудрых.
Ч.К.Колтон
Естествознание - комплекс наук о естественном, реальном мире. Говоря о математизации и о роли математики в познании, нельзя не отметить связь между математикой и естественными науками.
Один из первых ключевых моментов влияния математики на развитие естествознания - признание гелиоцентрической системы мира. Сейчас ни у кого не вызывает удивления утверждение о том, что Земля вращается вокруг Солнца, но во времена Коперника (
XVI век) общепринятой была геоцентрическая система. Изучая движение небесных тел, Коперник предложил гелиоцентрическую гипотезу, а основным аргументом в ее пользу было то, что при этом возникают “чудесные математические упрощения”. В средние века одним из основополагающих принципов развития любой науки был принцип, сформулированный Уильямом Оккамом в начале XIV века, “бритва Оккама”, который гласил, что “природа довольствуется простотой и не терпит пышного великолепия излишних причин”. Коперник сам не дожил до признания учеными его гипотезы, но основным аргументом в ее пользу и сейчас является заметное упрощение уравнений движения планет.Гелиоцентрическая теория восторжествовала, как в дальнейшем и многие другие теории, которые либо противоречили нашему чувственному опыту, либо вынуждали нас признавать физические реалии, не воспринимаемые нашими органами чувств. Важную роль в этом сыграла математика, которая начиная с
XVII в. заняла ведущее место в физической науке, что привело к значительным увеличению результативности этой науки. Это произошло благодаря двум “гигантам”: Декарту и Галлилею. Они как бы реформировали саму природу научной деятельности. Они критически пересмотрели понятия, которыми должна оперировать наука, по-новому определили цели и задачи научной деятельности и даже изменили саму методологию науки. “Новые цели и новая методология не только придали естествознанию небывалую силу, но и провозгласили нерасторжимый союз с математикой”. Декарт провозгласил четыре правила, которые гарантируют получение точного знания:Декарт сделал вывод о том, что именно математический метод открывает перед человеком путь к постижению законов природы, и обосновал его. Он писал о математике “Это более мощный инструмент познания, чем все остальные, что дала нам человеческая деятельность, ибо он служит источником всего остального”.
Всесилие человеческого разума, неизменность законов природы, учение о протяженности и движении как сущностях физических объектов, различие между качествами, реально присущими объектам, и качествами, лишь кажущимися, а в действительности рожденными реакцией разума на чувственные данные, - все эти идеи, подробно развитые в сочинениях Декарта, оказали влияние на формирование современного мышления.
Галилей также предложил свою философию естествознания. Она имела немало общего с философией Декарта, но оказалась более радикальным и эффективным руководством к действию. Выдвинутый Галилеем грандиозный план прочтения “книги природы” провозгласил совершенно новую концепцию целей научного исследования и определил роль математики в достижении этих целей. “Именно с предложенного Галилеем плана исследования и постижения природы берет начало современная математическая физика.”
Галилей придерживался мнения о том, что природа сотворена по математическому плану. Он писал: “Философия природы написана в величайшей книге,… но понять ее сможет лишь тот, кто сначала выучит язык и постигнет письмена, которыми она начертана. А написана эта книга на языке математики”.
Дерзкий новаторский подход Галилея, развитый его последователями, состоял в том, чтобы получить количественные описания явлений, представляющих научный интерес, независимо от каких бы то ни было физических объяснений. Т.е. Галилей предлагает выводить формулы, описывающие поведение физических тел, не вдаваясь в причины такого поведения. Сама по себе эта идея поначалу не производит особого впечатления. Много ли проку в математических формулах? Ведь они ничего не объясняют. Они просто описывают происходящее на точном языке. Тем не менее именно эти формулы оказались наиболее ценным знанием, которое людям удалось получить о природе. Поразительные практические и теоретические достижения современной науки стали возможны вследствие того, что человечество накопило количественное описательное знание и научилось пользоваться им, а отнюдь не благодаря метафизическим, теологическим и даже механистическим объяснениям причин наблюдаемых явлений.
Именно на плечах таких гигантов, как Декарт и Галилей и стоял Ньютон. Именно в соответствии с принципом Галилея, Ньютон открыл закон всемирного тяготения - закон количественный, а не качественный. Вопреки широко распространенному мнению о якобы полной “понятности” силы тяготения, никому еще не удалось объяснить ее физическую сущность. Но возможность получения математических следствий из количественного закона принесла столь богатые плоды, что эту процедуру стали считать неотъемлемой частью физики. Понимание физических причин явления было принесено в жертву математическому описанию и математическому предсказанию. Наша неспособность понять
природу гравитации еще раз подчеркивает мощь математики.Со временем влияние математики в науке растет. Если Ньютону пришлось создать дифференциальное исчисление для целей физики, то Максвелл уже чисто умозрительно вывел свои уравнения, показав, что математика может идти впереди эксперимента.
Новый этап в развитии физики начался с открытием Эйнштейном теории относительности. В этом великом физическом открытии тоже в некоторой степени повинна математика. На протяжении долгих лет математики “не доверяли” десятой аксиоме Евклида. Даже сам Евклид сомневался в правильности ее формулировки: уж больно сложно и запутанно она звучала. Около двух тысяч лет математики пытались предложить другую, более простую, формулировку этой аксиомы, либо вывести ее из остальных девяти аксиом (доказав тем самым ее ненужность). Но, наконец, в 1825 году Н.И.Лобачевский публикует свои первые работы по неевклидовой геометрии. В своих работах он строит непротиворечивую геометрию на десяти аксиомах: девять первых аксиом Евклида и десятая аксиома, которая противоположна десятой аксиоме Евклида. Это доказывает, что десятую аксиому Евклида невозможно вывести из первых девяти аксиом. Однако случилось так, что на протяжении примерно тридцати лет после публикации работ Лобачевского и Бойаи математики игнорировали неевклидову геометрию, видя в ней своего рода логический курьез. Некоторые были убеждены. что в неевклидовой геометрии непременно должны быть скрыты какие-то противоречия. Другие, даже не отрицая ее логической непротиворечивости, считали ее бессмысленной. И почти все математики выражали уверенность, что геометрия реального пространства, настоящая геометрия, - это геометрия Евклида. Впрочем, до создания теории относительности их позиция была вполне объяснима.
Позднее были открыты другие неевклидовы геометрии (ведь можно менять не только десятую аксиому). Существование нескольких альтернативных геометрий само по себе явилось для математиков сильнейшим потрясением, но еще большее недоумение охватило их, когда они осознали, что невозможно с абсолютной уверенностью отрицать применимость неевклидовой геометрии к физическому пространству. Вопрос о том, что же нам достоверно известно о физическом пространстве, впервые был поставлен Риманом (1868г.). Тогда же он высказал революционную гипотезу о
том, что свойства пространства (например, его кривизна) могут меняться от точки к точке. Риману не удалось развить эту гипотезу, но ее подхватил Клиффорд, который предположил, что некоторые физические явления обусловлены изменениями кривизны пространства, что кривизна пространства меняется не только от точки к точке, но и со временем (вследствие движения материи). Клиффорд уподобил вселенную поверхности в среднем плоской, но с небольшими неровностями. Он предположил также, что гравитационные эффекты обусловлены кривизной пространства. Заметки Гаусса (1855) и работа Римана (1868) убедили некоторых математиков в том, что неевклидова геометрия вполне может отражать реальность. Постепенно неевклидова геометрия и вытекающее из нее следствие относительно физической истинности этой геометрии были признаны всеми математиками, но отнюдь не потому, что ее применимость была подтверждена какими-либо новыми данными. Настоящую причину признаний такого рода указал Макс Планк: “Обычно новые истины побеждают не так, что их противников убеждают и они признают свою неправоту, а большей частью так, что противники эти постепенно вымирают, а подрастающее поколение усваивает истину сразу”. Как уже было написано, Ньютон предложил закон всемирного тяготения и показал, что один и тот же количественный закон охватывает все земные и небесные проявления гравитационного взаимодействия, однако физическая природа гравитации оставалась непонятной. Физики обходили еще одну проблему, появившуюся с введением силы тяготения. Каждый физический объект обладает двумя физическими свойствами: весом и массой. Масса характеризует сопротивление, оказываемое телом любому изменению в скорости как по величине, так и по направлению. Вес - это сила, с которой земля притягивает тело. Хотя на Луне и на Земле масса тела одинакова, вес тела на Луне в 5 раз меньше веса этого же тела на Земле, а в открытом космосе вообще наблюдается невесомость. Хотя эти свойства материи - вес и масса - различны, отношение веса к массе в данной точке всегда одно и то же. Однако до Эйнштейна объяснить это никому не удавалось.По словам Гете, величайшее искусство как в теории, так и в практической жизни состоит в том, чтобы превратить проблему в постулат. Так и поступил Эйнштейн в 1905г., предложив свою специальную теорию относительности. Одно из принципиально новых положений специальной теории относительности - концепция локальной длины и локального времени. Их необычность не должна скрывать от нас то, что они гораздо лучше согласуются с экспериментом, чем ньютоновские понятия абсолютного пространства и времени. Другое важное следствие из постулатов теории относительности касается массы движущегося тела; оно гласит, что масса любого объекта увеличивается с увеличением скорости. Физически это увеличение сводится к энергии тела. Таким образом Эйнштейн сформулировал еще один принцип: “Масса и энергия сходны по существу - это только различные выражения одного и того же. Масса тела не постоянна; она меняется вместе с его энергией”. Наконец, в 1915 году Эйнштейн опубликовал работы по общей теории относительности, где он описал пространство-время как единое геометрическое пространство. Любая масса “искажает”, или “деформирует”, вокруг себя область пространства-времени так, что все движущиеся в этой области объекты следуют по одним и тем же искривленным траекториям (геодезическим). На языке классической физики можно сказать, что эти объекты движутся ускоренно, так как на них действует некоторая сила - тяготение. Но в общей теории относительности ускорение обусловлено самими свойствами пространства-времени. Другими словами, то, что Исаак Ньютон считал силой, Альберт Эйнштейн определил как геометрическое искривление пространства.
Как мы видим, Эйнштейн начинает новую эру в физике, пользуясь чисто математическими гипотезами и методами. После открытия Эйнштейном сверхматематизированной теории относительности очень много областей физики превратились, фактически, в разделы математики. В
XX веке физика в очень большой степени развивается подобно математике.Характер использования математики в естествознании претерпевает заметную эволюцию. Исследователи отмечают, в частности, следующие особенности
.В классический период математический аппарат создавался одновременно с построением физической теории, сейчас положение иное. Обычно физик использует теперь уже готовые математические структуры, разработанные внутри математики (например, риманова геометрия - в общей теории относительности, теория линейных операторов в гильбертовом пространстве - в квантовой механике). В классический период физические величины отождествлялись с математическими и сразу же получали ясный операционально-измерительный смысл. Теперь же требуется интерпретация, которая находится не сразу. Наконец, налицо отличие и в процедурах разработки математических программ развития новых физических теорий. Ранее была фактически всегда одна программа, ибо математика обслуживала физику, ныне математика способна предложить ряд вариантов, вообще, способна направлять физическое исследование.
Математически (и логически) возможный мир - это мир, который описывается без логического противоречия. Им может быть вымышленный, фантастический мир или даже мир сказки, но важно одно: его описание не должно противоречить себе. Ситуации, запрещенные физически, вполне могут быть предметом математического обсуждения. Таким образом, если физика, как и другие естественные науки, ставит вопрос, каков мир, то математика задается целью знать, каким бы он мог быть во всей бесконечности возможных вариантов. Физик решает проблему, является ли геометрия нашей Вселенной действительно евклидовой, с точки же зрения математика возможны и другие геометрии. С этой позиции теория Лобачевского - не результат решения практической задачи, а плод усилий выявить логически возможные варианты геометрических систем, проникнуть в структуру окружающего геометрического пространства. Чтобы прийти к открытию, Лобачевский должен был опираться не на существующие (физические) а только на логически возможные отклонения от геометрии.
Выступая, по выражению Г.Вейля, “теоретическим изображением бытия на фоне возможного”, математика несет естествознанию глубокие эвристические стимулы. То, что ныне считается физически невозможным (противоречит знанию), может оказаться завтра реальным в свете новых научных открытий. Сила математики заключена в том, что она уже сейчас допускает существование запрещенных, но не противоречивых логически ситуаций. Тем самым она оказывается источником и вместилищем новых представлений в естествознании, побуждая ум исследователя к поискам неизвестных, но прогнозируемых математикой явлений.
По-видимому, можно говорить о трех линиях, по которым осуществляется процесс математизации естествознания
:Кое-что он преувеличивал, но большей частью говорил правду.
М.Твен
В конце
XIX века во всем мире устанавливается индустриальный способ производства. Машины производят машины. Объемы производимой продукции возрастают так, как никогда ранее. Теперь уже не хватает простых счет для вычисления выручки. С появлением ЭВМ промышленность совершает следующий безумный скачок. Теперь не просто машины производят машины, но и следят за этим производством тоже машины, скорость реакции которых несравнима с человеческой. Конечно, с появлением ЭВМ перед инженерами и математиками встали проблемы формализации производств, ведь компьютеру надо задать конкретную, обсчитанную со всех сторон программу действий, нельзя полагаться на его “здравый смысл”, как это происходит с людьми. Но кроме того, возникла такая большая проблема, как подсчет прибыли. Если раньше завод выпускал 100 партий в год, продавая их двум заказчикам, то теперь те же заводы выпускают до 100 000 партий в год, продают их 2000 заказчикам по разным ценам, причем и заказчики и цены все время меняются. Задача подсчета прибыли также усложняется в 1000 раз.Население на планете за
XX век выросло больше, чем в 6 раз, а сумарные объемы продаж выросли более, чем в 100 раз. Наука экономика существовала и до XX века, и в ней, несомненно, применялись математические методы. Но в XX веке для экономики, особенно для математизированной ее части наступил Золотой век.Почему математики с таким энтузиазмом взялись за экономические проблемы? Во-первых, деньги - это абстракция, некий всеобщий эквивалент, не имеющий постоянного реального аналога. Почти то же самое, что и числа. С деньгами можно оперировать почти так же произвольно, как и с абстрактными числами. Во-вторых, конечно, экономические проблемы приносят больше денег. Если помочь кому-нибудь получить прибыль, то, может быть, он этой прибылью поделится. В-третьих, постепенно обрисовалась и третья выгода от развития математических методов в экономике. За это иногда дают Нобелевскую премию. Нобель в своем завещании писал, что премию надо выдавать за практические результаты. Конечно, многие физические открытия сделаны математиками, или совместно с математиками, но за это не дают Нобелевские премии, т.к. обычно это чисто теоретические (а не практические) результаты. А с деньгами, экономикой все по-другому. Тут любой теоретический расчет сразу же можно применять на практике, так и делается.
Два выдающихся ученых-математика получили Нобелевские премии по экономике. Это советский новосибирский математик Л.В.Канторович и американец Дж.Нэш.
Работы Канторовича по линейному программированию и оптимальному управлению экономикой носят кроме чисто математического еще и методологический характер: Канторович создал адекватную связь математической модели (двойственной задачи линейного программирования) с реальными экономическими задачами.
Нэш занимался теорией коалиционных игр (игр, в которых некоторые игроки объединяются для получения максимального выигрыша) и теорией игр с неполной информацией (такие игры, в которых противники не знают всей информации об игре).
Многие отрасли математики сильно связаны с экономикой. Даже постановки задач в этих областях – чисто экономические. Это теория игр – наука о максимизации выигрыша в некой конкурентной игре нескольких лиц. Это исследование операций с такими классическими задачами, как задача коммивояжера (задача о том, как обойти
N городов за минимальное время), задача составления расписания (задача о составлении расписания действий
, если известны времена 
выполнения каждого действия и пары 
(действие 
предшествует действию 
)), транспортная задача (задача о том, как распределить продукцию N заводов по M потребителям, потратив на транспортировку как можно меньше денег), задача о рюкзаке (задача взять в рюкзак ограниченного объема товаров на как можно большую сумму) и т.д. Это линейное, математическое, дискретное программирование. А также другие отрасли математики.
К сожалению, еще очень долго придется учить экономистов хотя бы тому, чтобы они научились разговаривать на языке математики.
Известный математик Г.Вейль пишет: “Федеральный закон США о подоходном налоге устанавливает налог
y в зависимости от дохода x; делает он это довольно неуклюже, “склеивая” одну за другой несколько линейных функций, каждая из которых действует в пределах своего интервала изменений дохода. Археолог, который через пять тысяч лет обнаружит в раскопе наши декларации о доходах, вместе с руинами инженерных сооружений и математическими книгами, вероятно, датирует их двумя столетиями раньше, наверняка отнеся ко временам до Галилея и Виета.”Другой пример того, как неуклюже экономисты обращаются с формальной (если угодно, математической) логикой. Среди экономистов принято так ставить задачу оптимизации: “при минимальных расходах добиться максимальной прибыли”. Так сформулированная задача по меньшей мере бессмысленна. Понятно, что минимальные расходы - нулевые. А при нулевых расходах (капитала, труда и т.д.) невозможно добиться никакой прибыли. Правильная постановка задачи должна быть такой: “при заданных затратах найти способ получить максимум прибыли”, либо такой: “добиться заданной прибыли при минимальных расходах”.
Математики ничем не смогут помочь экономистам (да и другим ученым), если те не научатся правильно формулировать проблемы, возникающие в их областях.
Реальной опасности стать слугой машины нет, ибо любой более или менее механистический процесс можно передать самой машине.
А.Тьюринг
По данным, приводимым Р.Курантом, в США за период с 1900 до середины
XX в. число членов профессиональных математических объединений увеличилось почти в 30 раз. Отмечают ускоряющийся рост выпуска из вузов специалистов-математиков. Курант характеризует это, в частности, такими данными. Всего лишь в течение 6 лет (начиная с 1956 и по 1962 гг.) студентов-математиков в колледжах стало в 3 раза больше. Притом, ими изучается более обширный круг математических дисциплин. Вместе с тем Курант указывает и на такую тенденцию, как насыщение отраслей производства и других сфер общества специалистами-математиками. Так, всего за четверть века (начиная с 1939г) число математиков, работающих вне университетов и вузов, т.е. занятых в промышленности и государственных учреждениях США, увеличилось в 12 раз. Аналогичные явления, как замечает Сухотин, отмечены в Советском Союзе и в других странах.В СССР в системе академических институтов в начале 70х гг. свыше 40% математиков работали в подразделениях, не относящихся к физико-математическому циклу. При этом, веяния математизации охватили не только естествознание. В 1971 г. в учреждениях АН СССР по общественным наукам работало 19,5% математиков, т.е. пятая часть сотрудников
.В этой главе я хочу рассмотреть несколько задач, которыми занимаются математики.
Моя телефонная сетьСеть телефонной связи связывает между собой десятки миллионов абонентов, она делает далекие города близкими, позволяет людям общаться друг с другом, не пересекая государственных границ. Естественно спросить: при чем здесь математика? Ведь телефонная связь - столь обычное и простое средство, к которому мы привыкли с раннего детства. Однако рассмотрим ситуацию подробнее. Прежде всего, чтобы приступить к строительству телефонной станции, ее предварительно нужно спроектировать и рассчитать - как долго придется абонентам ожидать начала разговора. Ведь если с момента набора номера до момента соединения с абонентом протекут не секунды, а минуты. то такая связь подавляющим большинством абонентов будет признана неудовлетворительной. Как заранее провести расчеты необходимого оборудования для того, чтобы время ожидания абонента не превосходило 5- 10 секунд? А там, где речь идет о расчете, само собой разумеется, не избежать обращения к математике. Для проведения подобных подсчетов надо знать закономерности поступления вызовов от абонентов и длительности возможных разговоров. Тот поток вызовов, который фактически наблюдается и должен быть обслужен телефонной сетью, обладает очень сложной структурой: он состоит из большого числа потоков вызовов от отдельных абонентов. Этих абонентов очень много и каждый из них прибегает к помощи телефона в случайные моменты времени. Можно предполагать, что вызовы одного абонента не сказываются на частоте вызовов других. Казалось бы, что в таких условиях нет и не может быть каких-либо строгих закономерностей потока суммарных вызовов. Однако оказывается, что это не так, и в пятидесятые годы советский математик А.Я.Хинчин сумел доказать очень важную общую теорему. Согласно этой теореме, если поток вызовов состоит из суммы очень большого числа независимых между собой вызовов от отдельных абонентов и каждый из этих частных потоков вносит небольшой вклад в суммарный поток, то этот суммарный поток обязательно будет близок к так называемому потоку Пуассона. Т.е. вероятность того, что за период
t на станцию поступит k вызовов (k=0, 1, 2,…) вычисляется по формуле
, где l
>0 -
некоторая постоянная. Длительность одного разговора -
тоже важный параметр, влияющий на время ожидания соединения. Предположим, что длительность одного разговора -
случайная величина, имеющая функцию распределения 
, где n
-
некоторая положительная постоянная (что довольно хорошо согласуется с практикой). Пусть на телефонной станции n каналов связи (т.е. одновременно может проходить n разговоров). Тогда среднее время a ожидания абонентом соединения вычисляется по формуле 
, где 
-
вероятность того, что заняты все n каналов связи, 
. Обратим внимание, что величина a возрастает очень быстро (нелинейно) по мере приближения n к r
. Величина r
носит название нагрузки. Чтобы нагляднее представить себе процесс роста средней величины ожидания соединения, приведем небольшую таблицу (табл. 1), в которой будем вычислять не величину a, а величину l
a. При этом положим n=1, т.е. положим, что имеется всего один канал связи.
Таблица 1.
|
r |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,8 |
0,9 |
0,95 |
|
l a |
0,0111 |
0,0500 |
0,2667 |
0,5000 |
0,9000 |
3,200 |
8,100 |
17,75 |
Приведенная таблица иллюстрирует хорошо известный факт относительно большой чувствительности систем обслуживания, уже достаточно сильно загруженных, к возрастанию загрузки. Потребитель при этом сразу ощущает значительное увеличение длительности ожидания начала обслуживания.
Во время второй мировой войны возникла новая отрасль математики - исследование операций. Первоначально “исследование операций” – это военное специальное научное подразделение в ВВС Великобритании и США, в которое входили ученые физики, химики, экономисты и профессиональные военные; никто и не подозревал, что это будет отрасль прикладной математики. Эти подразделения решали задачи оптимального проведения военных операций (применение оружия, распределение сил и средств). Однажды кому-то пришло в голову привлечь к этому виду деятельности математиков. С тех пор исследование операций стало полноправной отраслью математики (а не физики, экономики или военного дела). Стоит упомянуть один пример действенности этой науки.
Великобритания - островное государство. В годы второй мировой войны практически единственным средством общения с другими странами были корабли. Но мореплавание осложнялось тем, что фашистские подводные лодки сбивали очень много судов. Англия несла колоссальные потери. Исследователи показали, что при увеличении количества кораблей в караване, суммарные потери остаются практически неизменными, после чего Великобритания стала посылать корабли как можно более длинными караванами. Нападения на английские корабли прекратились совсем: подводные лодки наносили меньше повреждений кораблям, чем получали сами.
Был и другой, на первый взгляд негативный, пример применения математических методов в военном деле. Перед учеными-математиками была поставлена задача: придумать такой строй бомбардировщиков, при котором потери были бы минимальны. Математики предложили свое решение, в два раза уменьшающее потери (и человеческие, и потери техники), но военные не стали им пользоваться и оставили все по-старому. Дело в том, что в таком строе обязательно приходилось бомбить “своих” (самолеты летели на разной высоте и нижние служили как бы щитом верхним, но при этом, естественно, бомбы верхних иногда попадали в
нижних). И хотя суммарные потери были намного меньше, военные не смогли использовать такой строй из психологических соображений.Почему же в данной ситуации математика не сработала? Все очень просто. Математики решили строго поставленную задачу: “придумать строй, уменьшающий потери”. С решением задачи математики справились великолепно (потери уменьшились в 10 раз). Если бы сразу в задаче наложили ограничение, что нельзя бомбить “своих”, математики это учли бы и придумали бы другую модель. Как я уже писала в главе “Математика и экономика”, математика начнет давать хорошие результаты тогда, когда остальные научатся точно формулировать математикам свои проблемы и задачи.
Задача повышения качества продукции - одна из важнейших задач экономики. Оборудование высокого качества работает дольше и успешнее, без частых ремонтов и техосмотров. Кроме качества сырья, предприятие должно также заботиться о качестве выпускаемой продукции. Проверка качества изготовленной продукции представляет собой совсем непростую задачу. Во-первых, часто проверка качества связана с частичной или полной порчей изделия. Во-вторых, современные объемы производства так велики, что сплошная проверка качества изготовленной продукции потребует такой затраты средств и труда, которая нередко сравнима с затратами на производство этой продукции (а зачастую и превосходит их). В результате, как правило, сплошная проверка качества изготовленных изделий не может быть осуществлена даже при наличии совершенной аппаратуры. Выход один - использовать статистические методы контроля качества.
В любой небольшой группе случайно выбранных из всей партии изделий (5- 6 штук) вероятность встретить несколько бракованных изделий (и даже одно) весьма мала. Но если это маловероятное событие произошло, значит, что-то случилось, что выбило производство из нормального хода. Приведем пример. Пусть вероятность изготовления бракованного изделия равна 0,0001 при нормальном технологическом процессе. Тогда вероятность, что в выборке из пяти изделий содержится два или более бракованных изделий 0,00000001, в точности одно бракованное изделие - 0,0005, а ни одного бракованного изделия 0,99949999. Таким образом, получение в одной выборке из пяти изделий хотя бы одного бракованного - событие очень редкое (на две тысячи таких групп в среднем лишь в одной может оказаться одно бракованное изделие). То есть, если в единственном извлечении такой группы удалось достать бракованное изделие, то естественно считать, что партия содержит больше бракованных изделий
, чем предполагалось. Следовательно, партия должна быть отвергнута. Конечно, надо соизмерять объем выборки с объемом партии продукции. Объем выборки должен быть не слишком мал (иначе мы можем пропустить бракованные партии), но и не слишком велик (хотя бы на один порядок меньше количества изделий в партии, а лучше - около 1% партии).Имела место такая реальная ситуация. На одном из заводов инженеры высказывали сомнения в надежности методов статистического контроля качества и заявили, что сплошной контроль качества несравнимо точнее. Для того, чтобы проверить это утверждение была задействована группа лучших контролеров. Эти контролеры были разбиты на две группы примерно в отношении 3:1. Первая была занята сплошным контролем качества, а вторая - статистическим. Различие в числе контролеров предусматривало проверку одинакового числа партий, так что на каждого из контролеров, действующих статистическими методами, пришлось в три раза больше проверяемых партий. Результаты контроля были тщательно отмечены. На следующий день те же партии были вновь предъявлены контролерам как новая продукция. Удивительны результаты. Оказалось, что некоторые партии продукции, принятые контролерами сплошной проверки в первый день, были забракованы во второй день, а часть забракованных в первый день партий прошла проверку во второй день. Ошибка составила около 20%. Статистический же контроль дал за исключением одной партии в точности те же результаты, что и накануне. Одна партия, забракованная в первый день, была принята при повторном контроле. Объяснение кажущемуся парадоксу предложили сами контролеры: когда контролер знает о предстоящей большой и напряженной работе, он становится даже в начале рабочего дня не очень внимательным. Такое поведение человека при монотонной работе, требующей очень большого нервного напряжения, вполне объяснимо. И хотя контролерам статистическими методами было дано большее число партий для проверки, все же общий объем инспекции для них был меньшим в несколько раз, и они могли работать более спокойно, не заботясь об ожидающей их высокой нагрузке.
Интересно, что подобные эксперименты были поставлены и в США и привели к таким же результатам вплоть до объяснений.
Непостижимая эффективность математикиЖизнь - это искусство делать верные выводы из неверных посылок.
С.Батлер
Специфика математической абстракции, особенности ее конструирования вызвали к жизни философский вопрос о существовании объектов математики: множеств, чисел, точек. Имеется два альтернативных подхода.
Сторонники реализма (Гёдель, Черч) полагают, что существование математических объектов (чисел, множеств, …) надо признать столь же действительным, как и бытие окружающих нас материальных тел. Эрмит, например, придерживается точки зрения, что “математические объекты существуют вне нас в силу той же необходимости, как объекты реального мира, и мы их встречаем или открываем и изучаем точно так же, как это делают физики, химики, зоологи”. Такой подход, считают реалисты, позволяет обращаться с математическими объектами как с чем-то осязаемо данным, воспринимаемым. Иное понимание обязывало бы, по их мнению, принять математический объект в качестве “недозволенной мысленной надстройки над восприятием единичных вещей” и лишало бы математиков права оперировать ими.
Другое объяснение дают сторонники номинализма (Гудмэн, Куайн), которые заявляют: существует только то, что существует реально (на самом деле, имеет пространственно-временную координату). Во внешнем мире нет, таким образом, ни чисел, ни множеств, ни классов, их нельзя поэтому встретить подобно тому, как мы обнаруживаем телесные объекты. С этим пониманием связаны многие неудобства чисто математического характера, поскольку математик лишается права оперировать с объектами как с чем-то чувственно достоверным, наглядным, объективным
.Поскольку природу математики и ее взаимосвязь с физическим миром оценивают по-разному, нельзя обойти молчанием вопрос о том, почему математика вообще действенна. Необходимо признать, что полного соответствия между математикой и физической реальностью не существует. Однако немалые успехи математики в описании физически реальных явлений - будь то электромагнитные волны, эффекты, предсказанные теорией относительности, математическая интерпретация того, что доступно наблюдению на атомном уровне, и даже в свое время ньютоновская теория тяготения, не говоря о сотнях других достижений, - требуют какого-то объяснения.
Итак, наука стоит перед двойной загадкой. Почему в тех случаях, когда физическое явление понято нами и мы приняли соответствующие аксиомы, сотни следствий, полученных из них, оказываются столь же применимыми к реальному миру, как и сами аксиомы? Согласуется ли природа с человеческой логикой? Не менее важен и другой вопрос: почему математика эффективна при описании тех физических явлений, которые непонятны для нас? От этих вопросов невозможно отмахнуться. Слишком многое в современной науке и технике зависит от математики.
Ученым вплоть до
XVIII в. ответы на эти вопросы казались простыми и ясными. Полностью разделяя убежденность древних греков в том, что мир устроен на математических принципах, исследователи видели в математике путь к познанию истин о природе. Иначе говоря, средневековые философы превратили Бога в непогрешимого математика, стоящего над всем миром, тем самым как бы отождествляя поиск математических законов природы с религиозными исканиями. Более того, математическое знание становилось в чем-то выше Священного писания, поскольку по поводу толкования тех или иных мест в Священном писании возникало немало разногласий, тогда как относительно математических истин не могло быть ни малейших споров.Суть того, во что неколебимо верили Декарт, Кеплер, Галилей, Ньютон, Лейбниц и многие другие основатели современной математики, сводится к следующему: природе внутренне присуща некая скрытая гармония, которая отражается в наших умах в виде простых математических законов. Именно в силу этой гармонии наблюдение в сочетании с математическим анализом позволяет предсказывать явления природы.
Почтительное восхищение божественным планом творения постепенно уступило место стремлению получить чисто математические результаты. Хотя многие математики продолжали верить в божественное сотворение мира по единому плану и видели основную функцию математической науки в поисках способов расшифровки божественного замысла. вера в Творца во второй половине
XVIII в. изрядно потускнела. Чем успешнее развивалась математика того времени, чем многочисленнее становились ее достижения, тем в меньшей степени занятие математикой нуждалось в религиозном вдохновении.“К концу
XVIII века математика представляла собой как бы величественное двухтысячелетнее дерево, прочно стоящее на почве реальности с могучими корнями и мощными ветвями, возвышавшееся над всеми остальными областями знания”. Убеждение в том, что природа основана на математических принципах, было прочно, как никогда. Задача математиков состояла в том, чтобы открывать эти принципы и познавать законы, управляющие Вселенной, и сама математика считалась инстументом, как нельзя лучше приспособленным для решения этой задачи.Развитие неевклидовой геометрии показало, что созданная человеком математика ничего не говорит о природе и имеет мало общего с доказательством существования Бога. Выяснилось также, что именно человек фиксирует порядок в природе, предполагаемую простоту и математическую регулярность. Эварист
Галуа (начало XIX в.) так отзывался о математике: “Эта наука скорее приспособлена к тому, чтобы изучать и искать истину, чем к тому, чтобы ее находить и познавать”.Но даже если математика утратила свое место в цитадели истины, в физическом мире она прочно удерживала свои позиции. Нельзя было обойти или недооценить главного: математика была и остается превосходным методом исследования открытия и описания физических явлений.
Роль математики в “упорядочении” окружающего мира и овладении природой начиная с 30-х годов
XIX в. возрастала невероятно быстрыми темпами. Кроме того, со времен Ньютона существенно увеличилась точность, с которой математики могли описывать и предсказывать явления природы. Таким образом, сложилась явно противоречивая, парадоксальная ситуация. С одной стороны, математика больше не претендует на роль носителя истины. С другой стороны, математика подарила науке множество открытий, прекрасно согласующихся с повседневным опытом: евклидову геометрию, гелиоцентрическую систему Коперника и Кеплера, всеохватывающую механику Галилея и Ньютона, физически необъясненную, но имеющую весьма широкую сферу приложений теорию электромагнетизма Максвелла, теорию относительности Эйнштейна.Эта проблема неоднократно привлекала к себе большое внимание, в частности, Альберта Эйнштейна, который не раз касался ее в своих статьях, посященных общефилософским проблемам естествознания: “Почему возможно такое превосходное соответствие математики с реальными предметами, если сама она являвется произведением только человеческой мысли, не связанной ни с каким опытом? Может ли человеческий разум без всякого опыта, путем одного только размышления понять свойства реальных вещей?”
На вопрос “Почему математика работает?” было предложено несколько различных ответов. Дидро высказал идею, будто математики “подбирают” аксиомы так, чтобы выводимые из них следствия согласовывались с опытом. Великий философ сравнивал математика с игроком: и тот и другой играют, придерживаясь ими же придуманных абстрактных правил. Столь же критическую позицию занимал и Бернар ле Бовье де Фонтенель (1657- 1757). Оспаривая убеждение в незыблемости законов движения небесных тел, он довольно язвительно замечал, что “на памяти” роз ни один садовник никогда не умирал. Подобным образом действуют и математики: берется одна из
возможных моделей и сверяется с опытом. Если модель оказывается неадекватной, то в нее вносят надлежащие изменения.Ныне предлагается и совершенно другое объяснение эффективности математических методов, которое восходит к Канту. Он утверждал, что мы не
знаем и не можем знать природу. Мы ограничены чувственными восприятиями, но наш разум, наделенный предустановленными структурами (по терминологии Канта “интуитивными суждениями”) пространства и времени, организует эти чувственные восприятия в соответствии с тем, что диктуют присущие ему врожденные структуры. Например, наши пространственные восприятия мы организуем в соответствии с законами евклидовой геометрии потому, что этого требует наш разум. Иначе говоря, мы видим только то, что позволяет видеть наша математическая “оптика”.Жюль Анри Пуанкаре (1854- 1912) предложил еще одно объяснение, в
значительной мере выдержанное в духе Канта. Пуанкаре считал, что существует бесконечно много теорий, которые в состоянии адекватно объяснить и описать любую область опыта. Выбор теории произволен, хотя обычно более простой теории отдают предпочтение перед более сложной. Мы изобретаем и используем идеи, которые соответствуют реальности, но и другие теории, если приложить к ним достаточно усилий, также могут оказаться вполне действенными.Философ Уильям Джеймс выразил ту же идею: “Все грандиозные достижения математики и естественных наук… проистекают из нашего неутомимого желания придать миру в наших умах более рациональную форму, чем та, которую придал ему грубый порядок нашего опыта”
.Многие математики с готовностью соглашаются, что их наука находит необычайно широкое применение, но признают свою несостоятельность в
объяснении этого феномена. Хотя математика и является чисто человеческим творением, она открыла нам доступ к некоторым тайнам природы, чем позволила добиться успехов, превзошедших все ожидания.Как это ни парадоксально, но именно далекие от реальности математические абстракции дали человеку возможность достичь немалого.
Ладно, я очень рад, что мы до этого сами додумались, как полагается сыщикам; за всякий другой способ я гроша ломаного не дам.
Том Сойер [М.Твен]
Вначале вспомогательное средство расчета, математика превратилась в
абсолютно необходимого помощника всех крупнейших исследований нашего времени. Более того, оказалось, что на определенных этапах развития знаний математика является единственным средством познания и, подобно скальпелю хирурга, помогает проникать во внутренние свойства изучаемых объектов.Известный российский математик Б.В.Гнеденко пишет: “В наше время математизация знаний совершает своеобразный победный марш. Многие области науки и практики, до самого последнего времени находившиеся вдали от использования математических средств исследования, теперь усиленно стремятся наверстать упущенное. Причина этого, конечно, заключается не в преходящей моде, а в том, что чисто качественное исследование явлений природы, экономики, врачебного дела, организации производства, как правило, оказывается недостаточным.” Действительно, как можно автоматизировать процесс выплавки стали или крекинга нефти без
знания точных количественных закономерностей этих процессов? Как можно заставить рационально работать линию связи, если не знать количественных закономерностей поступления требований от абонентов, ни длительности обслуживания этих требований? Как правильно составить расписание стройки, чтобы закончить ее в минимальный срок? Именно поэтому автоматизация технологических процессов и управления ими неизбежно приводит к необходимости использования математики и, в свою очередь, заставляет математику ставить новые вопросы и разрабатывать новые методы.Математика развивается. Она развивается, как пишет А.Тарский, во всех трех направлениях. Она растет в вышину, т.к. на почве старых, насчитывающих века и тысячелетия теорий возникают новые проблемы. Она растет в ширину, потому, что проникает в другие науки, захватывая все новые ряды явлений. Наконец, она растет в глубину, поскольку все прочнее утверждаются ее основы, совершенствуются методы и упрочиваются принципы. Но развитие математики неизбежно влечет развитие всех математизированных наук.
Никто не в состоянии дать однозначный ответ на вопрос, упорядочена ли природа, заложен ли в ее основе некий план. Но можно с полной уверенностью заявить, что самый могущественный из созданных человеком инструмент - математика - позволяет нам достичь определенного понимания сложного и разнообразного мира природных явлений.
Основные источники:
Другие источники: