В классе 35 учеников. Из них 20 занимаются в математическом кружке, 11- в биологическом, 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекается математикой?
В классе все увлекаются математикой или биологией. Сколько человек в классе, если математикой занимаются 15 человек, биологией – 20, а математикой и биологией – 10?
В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке?
Сколько существует натуральных чисел, не превосходящих 1000, которые делятся на 3? На 5? На 15? Не делится ни на 3, ни на 5?
Ученики 6 класса решали две задачи. В конце занятия учитель составил четыре списка:
I – решивших первую задачу, II – решивших только одну задачу, III – решивших по меньшей мере одну задачу, IV – решивших обе задачи. Какой из списков самый длинный? Могут ли два списка совпадать по составу? Если да, то какие?
В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 – в хоккей, 18 – в волейбол. Увлекаются двумя видами спорта – баскетболом и хоккеем – четверо, баскетболом и волейболом – трое, волейболом и хоккеем – пятеро. Трое не увлекаются ни волейболом, ни баскетболом, ни хоккеем.
а) Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта?
б) Сколько ребят увлекаются лишь одним из этих видов спорта?
На прогулку пошли шестиклассники и семиклассники. Все они были либо босиком, либо в тапочках. Шестиклассников было 24, а босых учеников 16. Обутых шестиклассников было столько же, сколько босых семиклассников. Сколько учеников ходили на прогулку?
Устные задачи:
Мама купила сливы для своих детей Пети, Коли и Маши. Она торопилась на работу, поэтому оставила сливы на столе и написала записку: "Петя, Коля и Маша! Кушайте сливы - всем поровну". Первым пришел из школы Петя. Он увидел сливы, увидел записку, взял со стола треть слив, пожадничал, взял еще одну сливу и убежал гулять. Потом пришел Коля. Он увидел сливы, увидел записку, решил, что пришел первым, взял треть слив, пожадничал, взял еще одну сливу и убежал к другу. Потом пришла Маша. Увидела записку, взяла треть слив, пожадничала, взял еще одну сливу и пошла играть в куклы. Вечером пришла с работы мама и увидела, что 13 слив еще осталось. Сколько слив купила мама? (устная)
Пять баранов и три овцы стоят 31 рубль, а три барана и пять овец стоят 25 рублей. Сколько стоит баран?
Неравенство треугольника
Не сворачивая на кривые дорожки.
Сведения:
отрезок прямой - кратчайший путь между двумя точками. В частности: сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны. (Это неравенство треугольника.) (см. рис.)
Вводные задачи:
Докажите, что для любых трех точек А, В и С на плоскости выполняется неравенство АС ³
|АВ - ВС|.
Сколько существует различных (неравных) треугольников, у которых длины всех сторон - целые числа, а периметр равен 15?
В треугольнике ABC: AB=3.8, BC=0.6. Найти сторону AC, если известно, что она выражается целым числом.
Докажите, что длина любой стороны треугольника не превосходит его полупериметра.
В стране 4 города: А, Б, В и Г. Два самолета одновременно вылетели из города А. Маршрут первого: АБГВАГБВА, второго: АБВГАБВГАБВГА. Какой самолет раньше закончит свой путь, если их скорости одинаковы?
Верно ли, что для любой точки внутри выпуклого четырехугольника сумма расстояний от точки до вершин меньше периметра четырехугольника?
Сколько попарно различный треугольников можно составить из отрезков, длины которых 1, 2, 3, 4 и 5?
Дан произвольный (выпуклый) четырехугольник. Доказать, что сумма его диагоналей больше суммы двух противоположных его сторон. Еще доказать, что сумма длин диагоналей заключена между периметром и полупериметром.
Задачи посложнее:
Докажите, что расстояние до любой вершины квадрата меньше суммы расстояний до остальных вершин.
Лиса Алиса и кот Базилио посадили 4 дерева в вершинах квадрата, закопали 100 золотых сольдо в ямку и сказали Буратино, что расстояния от ямки до деревьев равны соответственно 1, 4, 7 и 8 метров. “Опять обманут!”- подумал Буратино. Прав ли он?
Дан произвольный (выпуклый) четырехугольник. Найти точку внутри этого четырехугольника, такую что сумма расстояний от нее до вершин четырехугольника минимальна.
Два города Первый и Второй решили устроить математический турнир. Из Первого на Турнир должно поехать 200 школьников, а из Второго 100. Где следует проводить Турнир (примечание: в принципе, его можно проводить и в деревнях, находящихся по дороге из одного города в другой), чтобы затраты на провоз школьников были минимальны.
В треугольнике ABC на стороне ВС отмечена точка М. Доказать, что выполняется неравенство: ½(AB+AC+ВС)>AM>½(AB+AC–ВС)
На одном берегу реки расположены два села. В каком месте построить мост так, чтобы сумма расстояний от обоих сел до него была наименьшей?
Та же задача, но села расположены на разных берегах (не забыть, что река имеет ширину).
Сложные задачи:
На плоскости отмечено миллион две точки. Докажите, что их можно соединить по две непересекающимися отрезками. (подсказка: см. задачу № 8).
Сведения: