Kat&Pop - Рефераты - Программа ВМШ - семестр 1, занятие 5.

На первое: (задачи по 0 баллов, нужно решить 5, чтобы получить следующие)

1. а) Конь вышел с поля а1 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал четное число ходов.

б) Может ли конь пройти с поля а1 на поле h8, побывав по дороге на каждом из остальных полей?

2. p и q различные простые числа. Сколько делителей у числа а) p^m б) pq в) p²q г) p²q² д) pⁿq^m
3. Можно ли нарисовать 9-звенную ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев?
4. Докажите, что произведение любых трех последовательных натуральных чисел делится на 6.
5. Докажите, что число, имеющее нечетное число делителей - точный квадрат.
6. p - простое число. Сколько существует натуральных чисел а) меньших p и взаимнопростых с ним? б) меньших p² и взаимнопростых с ним?
7. а) Может ли n! оканчиваться на пять нулей? (если да, приведите пример; если нет, ответ обоснуйте). б) На сколько нулей оканчивается число 100! ?

На второе: (задачи по 10 баллов, нужно решить 5, чтобы получить следующие)

8. На хоккейном поле три шайбы А, В, С. Хоккеист бьет по одной из них так, что она пролетает между двумя другими. Так он делает 25 раз. Могут ли после этого шайбы оказаться на исходных местах?
9. На какую цифру оканчивается число 1²+2²+3²+4²+…+99²?
10. Буратино пошел на базар за грецкими орехами. Кот Базилио продавал орехи, но не на вес, а десятками. Он считал так: из каждого десятка откладывал один орех на стол, из каждой сотни в конце откладывал дополнительный орех, в конце каждой тысячи еще и третий орех и т.д. Отложенные орехи оставались на столе, а остальные орехи кот Базилио ссыпал в сумку Буратино. Под конещ он сказал: "Целое число десятков! А на столе 1997 орехов!" Буратино знал правило подсчета, за подсчетом не следил, но тут объявил, что кот Базилио "ошибается". Прав ли Буратино?
11. Докажите, что НОД(х, у)=НОД(х-у, у).
12. Решите уравнение в целых числах: а) х²-у²=31 б) х²-у²=303.
13. В 1000-значном числе 12345678901234567890…1234567890 вычеркнули все цифры, стоящие на нечетных местах. В полученном 500-значном числе вновь вычеркнули цифры, стоящие на нечетных местах. И такие вычеркивания проводились до тех пор, пока ничего не осталось. Какую цифру вычеркнули последней?
14. Может ли число, записанное при помощи 100 единиц, 100 двоек и 100 троек быть точным квадратом?

На третье: (задачи по 16 баллов, нужно решить 7, чтобы получить следующие)

15. Произведение 22 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна нулю.
16. Докажите, что а) число n³-n делится на 3 б) n⁵+4n делится на 5 в) n²+1 не делится на 3 г) n³-n делится на 24 для любого натурального n.
17. Найдите последнюю цифру числа а) 1999²⁰⁰⁰ б) 777⁷⁷⁷.
18. На провод села первая стайка - 10 ласточек. Прилетела вторая стайка, и птички сели по одной между теми ласточками, что уже сидели на проводе. И так несколько раз. А потом ласточки испугались кота Базилио и все улетели, но кот утверждает, что он, якобы, успел всех их пересчитать, и что число ласточек делилось на 7. А лиса Алиса утверждает, что этого быть не может. Кто из них прав?
19. Докажите, что число 2222⁵⁵⁵⁵+5555²²²² делится на 7.
20. Существуют ли два целых ненулевых числа, что одно из них делится на их сумму, а второе на их разность?
21. а) p, p+10, p+14 - простые числа. б) p и 8p²+1 - простые числа. Найдите число p.
22. Малыш и Карлсон играют в игру: в кучке лежит 101 камень. Каждый из игроков по очереди берет из кучки от 1 до 10 камней. Если в конце количества камней у Малыша и Карлсона взаимнопросты, то выиграл Карлсон, иначе - Малыш. Кто выиграет в такой игре?
23. Простые числа p и q и натуральное число n удовлетворяют соотношению: . Найдите эти числа.

На сладкое: (задачи по 30 баллов)

24. Докажите, что если (n-1)!+1 делится на n, то n простое число.
25. Известно, что 56х=65у. Докажите, что число х+у - составное.
26. Докажите, что для любых натуральных чисел х и у верно равенство НОД(х,у)НОК(х,у)=ху.

1. Если говорят, что число х является делителем числа у, это значит, что х и у - целые числа, причем х:у тоже целое число.
2. Число х кратно числу у, если у - делитель х.
3. НОД(х, у) - наибольший общий делитель целых чисел х и у. Т.е. наибольшее число, являющееся делителем как числа х, так и числа у.
4. НОК(х, у) - наименьшее общее кратное целых чисел х и у. Т.е. наименьшее число, кратное как х, так и у.
5. Деление с остатком.
6. Числа х и у называются взаимнопростыми, если у них нет общих делителей, кроме 1. (Т.е. НОД(х,у)=1)
7. Решить уравнение в целых числах значит найти такие целые числа, при подстановке которых в уравнение получается верное равенство. Причем найти надо все такие числа.