Kat&Pop - Рефераты - Программа ВМШ - семестр 2, занятие 1.

1. Найти сумму
2. В ящике лежат 70 шаров: 20 белых, 20 черных , 20 красных, остальные синие и зеленые. Шары отличаются только цветом. Какое наименьшее число шаров нужно вынуть, чтобы гарантировать, что среди вынутых шаров найдется 10 одного цвета?
3. Все целые числа, начиная с единицы, выписаны подряд. Какая цифра стоит на 2000 месте?
4. Пароход от Киева до Херсона плывет трое суток, а назад - четверо. Сколько суток будут плыть плоты от Киева до Херсона?
5. В Стране Чудес проводилось следствие по делу об украденной муке. На суде Мартовский Заяц заявил, что муку украл Болванщик. В свою очередь Болванщик и Соня дали показания, которые по каким-то причинам не были записаны. В ходе судебного процесса выяснилось, что муку украл лишь один из трех подсудимых и что только он дал правдивые показания. Кто украл муку?
6. В коробке с карандашами есть карандаши разной длины и есть карандаши разного цвета. Докажите, что есть два карандаша, отличающиеся и по цвету и по длине.
7. Имеются двое песочных часов: на 7 и на 11 минут. Яйцо варитсяним 15 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся часов?
8. Разложите гири с весами 1, 2, 3, …, 555 на три кучи, равные по весу.
9. Есть 9 монет, одна из них фальшивая. Она легче настоящих. За два взвешивания на чашечных весах без гирь определите фальшивую монету.
10. Имеется 101 монета. Из них 100 одинаковых настоящих и одна фальшивая, отличающаяся по весу. Необходимо выяснить, тяжелее или легче фальшивая монета, чем настоящая. Как это сделать на чашечных весах без гирь за 2 взвешивания?
11. Что больше: 2^300 или 3^200?
12. Дан шестизначный номер. Из скольки семизначных номеров его можно получить вычеркиванием одной цифры?
13. Какое наибольшее число воскресений может быть в году?
14. Четверо ребят - Алеша, Боря, Ваня и Гриша - соревновались в беге. На следующий день на вопрос, кто какое место занял, они ответили так:

Алеша: Я не был ни первым, ни последним.

Боря: Я не был последним.

Ваня: Я был первым.

Гриша: Я был последним.

Известно, что три из этих ответов правильные, а один - неверный. Кто сказал неправду? Кто был первым?

15. Брат вышел из дома на 5 минут позже сестры, но шел в полтора раза быстрее ее. Через сколько минут брат догонит сестру?
16. В школьной столовой - очередь за булочками. Булочки задерживались, и в каждый промежуток между стоящими успело влезть по человеку. Булочки все еще не начали выдавать, и во все промежутки опять влезло по человеку. Тут наконец принесли 85 булочек, и всем стоящим досталось по одной. Сколько человек стояли в очереди первоначально?
17. Над озерами летели гуси. На каждом садилась половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все сели на 7 озерах. Сколько было гусей?
18. Однажды Джон Булль повстречался с двумя братьями: Тимом и Томом. "Кто вы?" - спросил он их. "По крайней мере один из нас - лжец", - ответил Тим. Кто же они?
19. Являются ли развертками куба фигуры:
    
20. Числа от 1 до 20 выписаны в строчку. Два игрока по очереди расставляют между ними плюсы и минусы. После того, как все места заполнены, подсчитывается результат. Если он четен, то выигрывает первый игрок, если нечетен, то второй. Кто выиграет при правильной игре?
21. Что необычного в рисунке 1?
    
22. Двадцать точек расположены на окружности. Двое по очереди проводят отрезки с концами в данных точках; при этом отрезки не должны пересекаться. Тот, кто не может сделать хода, проигрывает. Кто выиграет при правильной игре?
23. В кучке 58 камней. Играют двое. За один ход разрешается взять из кучки любое количество камней от 1 до 4. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выиграет при правильной игре? Тот же вопрос, если проигрывает тот, кто берет последний камень.
24. p и q различные простые числа. Сколько делителей у числа pⁿq^m?
25. Можно ли нарисовать 9-звенную ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев?
26. На какую цифру оканчивается число 1²+2²+3²+4²+…+99²?
27. От пяти квадратиков, изображенных на рисунке, отнять 3 спички так, чтобы осталось три таких же квадратика.
28. Набор “Юный паркетчик” состоит из 12 пластинок, изображенных на рисунке 2 плотно уложенных в один слой в коробку размером 6´ 6 клеток. Хулиган Вася сломал одну плитку, и ее заменили фигуркой, изображенной на рисунке 3. Удастся ли теперь все детали уложить в эту же коробку?