Путешественник вышел из гостиницы в 3 часа дня, нигде не останавливался, вернулся в гостиницу в 9 вечера, дошел до пункта А, а затем той же дорогой -
обратно. На ровном участке его скорость 4 км/час, в гору -
3км/час, а под гору -
6 км/час. Какое расстояние он прошел?
а) Числитель и знаменатель дроби -
двузначные числа, отличающиеся только перестановкой цифр. Какое наименьшее значение может иметь такая дробь?
б) Числитель и знаменатель дроби -
трехзначные числа, отличающиеся только перестановкой цифр. Какое наименьшее значение может иметь такая дробь?
Магазин продает каждую тарелку на два рубля дороже её оптовой цены. Оптовая цена упаковки 90 рублей. Когда упаковку привезли в магазин, то оказалось, что две тарелки разбились. Поэтому прибыль составила (за эту упаковку) 14 рублей. Сколько тарелок в упаковке?
*Докажите, что существует полный квадрат, в десятичной записи которого первые 1998 цифр слева -
это единицы.
Можно ли расставить по окружности числа 1, 2, 3,…, 12 (в каком-либо порядке) так, чтобы разность двух любых соседних чисел была равна 3, 4 или 5?
Найти все натуральные числа, делящиеся на 30 и имеющие ровно 30 различных делителей.
Десятичная запись какой степени числа 2 оканчивается четырьмя одинаковыми цифрами?
Докажите, что из семи любых натуральных чисел можно выбрать три таких, что их сумма делится на три.
Найти все целые решения уравнения yk=x2+x, где k -
натуральное число, большее единицы.
Решить в целых числах уравнение 2n+7=x2.
Найти все такие натуральные числа k, которые можно представить в виде суммы двух взаимнопростых чисел, не равных 1.
Можно ли число а)
1998; б) 1986 представить в виде суммы квадратов шести нечетных чисел?
Комбинаторика плюс геометрия
Имеем 6 деталей (это равные квадраты). (см. рис.) Можно ли из них сделать поверхность куба (оборотная сторона деталей должна быть внутри куба) так, что к ребру примыкают два треугольника одного цвета (от разных деталей)?
Пять вершин правильного 110–угольника покрасили в красный цвет, а 11 – в синий. При этом 5 красных точек – вершины правильного пятиугольника, а 11 синих – вершины правильного 11–угольника. Докажите, что обязательно найдется сторона исходного 110–угольника, у которой один конец красный, а другой – синий.
Взяли квадрат клетчатой бумаги 13´
13 клеток и некоторые его клетки закрасили. Может ли так быть, что любая исходная клетка квадрата граничила по стороне ровно с одной окрашеной клеткой?
Раскрасьте клетки таблицы 3´
3 в наибольшее число цветов (все точки внутри клетки одного цвета) так, чтобы для любых двух цветов нашлись две клетки этих цветов, имеющие общую сторону.
Каждая из клеток квадрата 5´
5 покрошена в один из четырех цветов так, что в любом квадрате 2´
2 встречаются все четыре цвета. Какое наибольшее число клеток одного цвета в квадрате 5´
5 может быть?
В какое наибольшее число цветов можно раскрасить клетки квадрата 4´
4 так, чтобы в каждом квадрате 2´
2 нашлась пара клеток одного цвета?
Шахматную доску разбили на 32 доминошки – прямоугольники 1´
2 клетки. Докажите, что можно покрасить по 8 доминошек в каждый из четырех цветов (красный, синий, зеленый и желтый) так, чтобы любые для доминошки, имеющие общий участок границы (ненулевой длины) были покрашены различно.
Для каждой клетки шахматной доски допускается либо провести распил по ее любой диагонали, либо по обеим диагоналям, либо не распиливать эту клетку. При каком наибольшем числе распилов доска все еще не распадется?
Буратино взял квадрат бумаги в клетку (10´
10 клеток). Первым ходом он закрасил прямоугольник 1´
1 (одну клетку), вторым – прямоугольник 1´
2, третьим – прямоугольник 1´
3 и т.д. Он закончил, когда не смог сделать ход по этим правилам. Какое наименьшее число ходов удовлетворяет этим условиям?
Квадрат (2n–1)´
(2n–1) клеток разрезали на фигурки трех типов (см. рис.). Докажите, что получилось не меньше, чем (4n–1) “уголков”.
Домашняя работа.
Пусть а и b – натуральные числа, причем число а2 + b2 делится на 21. Докажите, что оно делится и на 441.
Натуральные числа x, y, z таковы, что x2 + y2 = z2. Докажите, что одно из них делится на 5.
Докажите, что
а) произведение 4 последовательных целых чисел;
б) разность квадратов двух простых чисел, больших трех;
делится на 24.
Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1 от вершины.
Можно ли провести в выпуклом шестиугольнике несколько диагоналей так, чтобы каждая из них пересекала во внутренних точках ровно три других?
Дан равносторонний треугольник
ABC. Найдите все такие точки M, что оба треугольника ABM и ACM равнобедренные.
