На доске записаны числа: единицы и минус-единицы. Очередным ходом стирают два числа, записывая вместо них их произведение. И так до тех пор, пока на доске не останется одно число. Докажите, что оставшееся число не зависит от того, в каком порядке стирали числа.
В угловой клетке таблицы 4´
4 стоит знак "-", в остальных клетках – плюсы. За один ход разрешается в любой строке или в любом столбце поменять все знаки на противоположные. Можно ли сделать так, чтобы все знаки в таблице стали одинаковыми?
На доске в ряд написаны числа 1, 2, 3,…,1999. Можно ли расставить между числами знаки плюс и минус так, чтобы полученная сумма стала равна 999?
Определение:
Инвариантом называется свойство системы, не изменяющееся при допустимых преобразованиях системы.
Что нужно считать системой, что инвариантом, а что допустимыми преобразованиями в задачах 1 – 3?
Задачи для самостоятельного решения:
*Круг разбили на шесть секторов. Вначале в каждом секторе лежит по одной монете. Очередным ходом следует передвинуть какую-либо одну монету на соседний сектор. Можно ли за 20 ходов собрать все монеты в одном секторе?
*На острове Серобуромалин живут хамелеоны: 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых. Если два хамелеона разных цветов встречаются, то они меняют свой цвет на третий. Может ли так случиться, что все хамелеоны на острове станут одного цвета?
На доске написаны числа 1, 2, 3,…,
1989. Разрешается стирать любые два числа, заменяя их разностью (вычитая из большего меньшее), и так несколько раз. Под конец остался один ноль. Докажите, что в вычислениях была допущена ошибка.
*
По кругу расположены 12 лампочек, каждая из которых может находиться в одном из двух состояний (горит или погашена). За один ход можно одновременно изменить состояние трех любых лампочек, стоящих подряд. Вначале горит ровно одна лампочка. Можно ли сделать так, чтобы все лампочки горели?
Решите задачу № 2, если первоначально дана таблица:
А)
В)
С)
D)
-
+
+
-
+
+
-
-
+
+
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
Е) Можно ли из таблицы А) получить таблицу D) ?
На чудо-яблоне растут бананы и ананасы. Каждый день можно срывать по два плода. Если срываешь два банана или два ананаса, то вырастает один ананас, а если срываешь один банан и один ананас, то вырастает один банан. В итоге на яблоне остался один плод. Какой остался плод, если известно, что вначале на яблоне росло 1998 ананасов и 1999 бананов?
*
В ряд лежат 5 монет: средняя вверх гербом, а остальные вверх цифрами. За один ход разрешается перевернуть любые три монеты, лежащие подряд. Можно ли добиться того, чтобы
все монеты лежали вверх цифрами?
все монеты лежали вверх гербом?
Игры. Выигрышные позиции. Анализ с конца.
Имеется две кучки 6 камней и 9 камней. За один ход разрешается взять любое количество камней из первой кучки или поровну камней из обеих кучек. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Конь стоит на поле а1. За один ход разрешается передвинуть так, как показано на рисунке. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Имеется две кучки по 7 камней. За один ход разрешается взять один камень из любой кучки либо по одному камню из каждой. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Кроме ходов, разрешенных в задаче 3, разрешается еще перекладывать камень из одной кучи в другую. В остальном правила те же.
*
Малыш и Карлсон по очереди двигают короля по шахматной доске; первым ходит Малыш. Ходы разрешенные Малышу: Ходы, разрешенные Карлсону:
Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Вначале король стоит на поле а1.
Стрелки на часах показывают 12. Двое делают ходы по очереди, В свой ход можно перевести стрелку на 1 или 2 часа. Выигрывает тот, кто поставит стрелки на 11 часов.
Условия те же, но переводить стрелки можно на 7 и 8 часов.
Петя и Вася по очереди ставят крестики и нолики в клетки доски 9´
9. Первым ходит Петя: он должен поставить крестик в центральную клетку доски, потом Вася ставит нолик в любую из 8 свободных клеток, соседних с центральной. И так далее: свой знак можно поставить в свободную клетку, соседствующую по стороне с занятой клеткой. Выигрывает тот, кто первым займет угловую клетку.
Домашняя работа:
Как разрезать квадрат на 5 прямоугольников, чтобы никакие два из них не имели общей стороны?
В качестве вещественного доказательства суду были предъявлены 14 монет. Суд знает, что из них 7 монет - настоящие, а остальные 7 монет - фальшивые, весящие меньше настоящих. Адвокат обвиняемого знает, какие именно монеты настоящие, а какие - фальшивые, и хочет убедить в этом суд. Как ему это сделать за 3 взвешивания?
Докажите, что последняя ненулевая цифра числа 1
00! четна. Сколькими нулями заканчивается это число?
Ходы, разрешенные Карлсону: