Kat&Pop - Рефераты - Программа ВМШ - семестр 3, занятие 11.

1. Бесконечная дорожка разрезана на квадратики. Перед первым из квадратиков стоит лягушка, которая умеет прыгать прыжками двух типов – длинным и коротким. Коротким прыжком лягушка перепрыгивает на соседний квадратик, а длинным перепрыгивает через квадратик. Найти число различных маршрутов, которыми лягушка может допрыгать до третьего квадрата; до четвёртого квадрата; до седьмого квадрата.
2. У дрессировщика имеется очень много львов и тигров. Он хочет выстроить на арене цирка шеренгу из этих зверей. Двух тигров рядом ставить нельзя. Найти число различных шеренг, которые дрессировщик может выстроить из трёх зверей; четырёх зверей; семи зверей.

Формулируем определение ряда Фибоначчи, исходя из того, что F 1 = F 2 = 1 .

3. ---

   Чему равен остаток от деления сотого числа Фибоначчи на девяносто девятое ?
4. 4. Доказать, что два соседних числа в ряду Фибоначчи взаимно просты.
5. Доказать, что 1995-е и 1997-е число Фибоначчи взаимно просты.
6. Доказать, что сумма всех чисел Фибоначчи с чётными номерами до 1996-го включительно на 1 меньше 1997-го числа Фибоначчи.
7. Докажите, что F_п делится на 3ó п делится на 4.
8. Докажите, что F_п делится на 5 ó п делится на 5.

9. ---

   Найти НОД 1997-го и 1994-го числа Фибоначчи.
10. Найти НОД 1998-го и 1995-го числа Фибоначчи.
11. Доказать, что любое натуральное число можно представить в сумме нескольких различных чисел Фибоначчи.
12. Целые числа А,В,С таковы, что при всех целых х число А х² + В х + С делится на 5. Доказать, что каждое из чисел А,В,С делится на 5.

1. На сколько сумма всех чисел Фибоначчи с нечётными номерами до 1997-го включительно больше, чем 1998-е число Фибоначчи?
2. Придумайте и докажите свойства чисел Фибоначчи (аналогичные рассмотренным на занятии задачам 7 и 8) (За каждое, которое мне понравится, 12 баллов.)
3. Прямоугольник 3´ 4 разрежьте так, чтобы он не распался на части, но им можно было бы оклеить кубик 1´ 1´ 1 в два слоя.
4. Изображенную на рисунке фигуру разрежьте на 4 части, из которых можно сложить квадрат.
   

1. Мальтийский крест. Разрежьте "Мальтийский крест" на 5 частей так, чтобы из них можно было сложить квадрат.
   
2. Что за камень? На рисунке изображена часть крепостной стены. Один из камней имеет столь причудливую форму, что если его вытащить из стены и положить иначе, то стена станет ровной. Изобразите этот камень.
   
3. Лесенка. Превратите "лесенку" в квадрат, разрезав ее на 3 части.
   
4. Прямоугольный лист бумаги 1,2´ 5 разрежьте на 3 части так, чтобы ими можно было полностью оклеить кубик 1´ 1´ 1.
5. Продырявленный квадрат. Разрежьте продырявленный квадрат на 8 частей, из которых можно сложить целый квадрат.
   
6. Из двух - одна. Разрежьте каждую из двух фигур, изображенных на рисунке, на 4 части одинаковым образом так, чтобы из полученных 8 кусков можно было сложить подобную им фигуру вдвое большей площади.
   
7. Из квадрата - треугольник. Разрежьте квадрат на 3 части из которых можно сложить тупоугольный треугольник.
8. Елочка. Разрежьте "елочку", изображенную на рисунке, на 4 части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.