Kat&Pop - Рефераты - Программа ВМШ - семестр 2, занятие 12.

Занятие двенадцатое. (3.12.2000г.)

Решение уравнений в целых числах.

  1. На прямой сидит блоха, которая может прыгать на 5 см или 7 см вправо или влево. Сможет ли она сместиться после нескольких прыжков вправо на 3 см от начального положения? Если сможет, то как она должна прыгать?

  2. Решите в натуральных числах уравнение 2000x + 513y = 2513.

  3. На бесконечной шахматной доске стоит конь. Докажите, что он сможет прискакать в любую клетку.

  4. На прямой сидит блоха, которая может прыгать на 5 см влево или на 7 см вправо. В каких точках прямой может побывать эта блоха?

  5. Трое крестьян – Игорь, Гоша и Ильдар – пришли на рынок с женами: Ларисой, Екатериной и Ольгой. Известно, что каждый из шестерых заплатил за каждый купленный предмет столько копеек, сколько предметов он купил. Каждый мужчина истратил на 48 копеек больше своей жены. Кроме того, Игорь купил на 9 предметов больше Екатерины, а Гоша – на 7 предметов больше Ларисы. Определите, кто на ком женат.

  6. Решите уравнения в целых числах:

  • (2x+y)(5x+3y)=7;

  • xy=x+y+3;
    		•

  • x2=14+y2;
    		•

  • x2-y2=31;
    		•

  • x2-y2=303;
    		•

  • x3+x2+x-3=0.
    		•    

    1. Докажите, что сумма двух простых нечетных чисел, идущих подряд, имеет три различных делителя, отличных от 1 и самой этой суммы.

    2. *Целые числа a и b таковы, что 56a=65b. Доказать, что a+b - составное число.

    Конструкции на много-мало

    Что не запрещено, то разрешено!

    1. На одну чашку весов кладется пять десятикопеечных монет, а на другую – равная по массе пачка стодолларовых купюр. Будут ли весы в равновесии?

    2. Может ли и сумма, и произведение нескольких натуральных чисел быть равными 99?

    3. Площадь прямоугольника меньше 1 кв.дм. Может ли его периметр быть больше 1 км?

    4. На балу было юношей и девушек поровну, было 10 танцев и каждый раз танцевали все.

      5. а) Как могло получиться, что каждый юноша каждый следующий танец танцевал либо с более красивой, либо с более умной девушкой?

      б) Как могло получиться, что в дополнение к тому в каждом танце (начиная со второго) был юноша, который танцевал и с более красивой, и с более умной девушкой?

    5. Сумма положительных чисел больше 10. Может ли сумма их квадратов быть меньше 0,1?

    6. Раз в месяц директор фирмы предлагает трем своим заместителям проголосовать за новый список своей и их зарплат. Сам директор не голосует. Те заместители, чью зарплату предлагается увеличить, голосуют за, остальные – против. Предложение принимается большинством голосов. Может ли директор за год добиться, чтобы его зарплата вдесятеро увеличилась, а зарплаты всех заместителей вдесятеро уменьшились?

    7. Фирма проработала полгода, подсчитывая свою прибыль каждый месяц. Каждые два подряд идущих месяца суммарная прибыль была отрицательной. а) Может ли суммарная прибыль за все полгода быть положительной? б) А за первые 5 месяцев?