Главное - убедить всех, что ты знаешь что-то, знать что-то - не главное.
Можно ли в прямоугольной таблице 5
x10 так расставить числа, чтобы сумма чисел любой строки равнялась бы 30, а сумма чисел любого столбца равнялась бы 10?
Дано шесть натуральных чисел. Все они различны и дают в сумме 22. найти эти числа и доказать, что других нет.
Что больше: 99
20 или 999910? Объяснить почему.
Можно ли разменять 25 рублей, имея рублевые, трехрублевые и пятирублевые купюры, так, чтобы всего получилось ровно 10 купюр?
Тридцать студентов со всех пяти курсов придумали вместе 40 задач для олимпиады, причем однокурсники придумали одинаковое число задач, а студенты с разных курсов - разное (между собой) число задач. Сколько студентов придумали по одной задаче?
Придя в тир, Петя купил 5 пуль. За каждый успешный выстрел ему дают еще 5 пуль. Петя утверждает, что он сделал 50 выстрелов и 8 раз попал в цель, а его друг Вася говорит, что этого не может быть. Кто из мальчиков прав?
Было 7 ящиков. В некоторые из них положили еще по 7 ящиков и т.д.
В итоге стало 10 непустых ящиков. Сколько всего стало ящиков?
Некая комиссия собиралась 40 раз. Каждый раз на заседании присутствовали по 10 человек, причем никакие два члена комиссии не встречались на заседаниях более одного раза. Докажите, что членов комиссии больше 60.
В классе каждый мальчик дружит ровно с двумя девочками, а каждая девочка - ровно с тремя мальчиками. Еще известно, что в классе 31 пионер и 19 парт. Сколько человек в этом классе?
Игры
Никогда не садись в машину к незнакомцу и никогда не играй в игры с математиком.
Имеются две кучки конфет: в одной 19 конфет, а в другой 98. Играют двое, Петя и Вася, делая ходы по очереди (первым ходит Петя). В свой ход нужно одну кучку съесть, а другую разделить на две кучки, необязательно равные. Проигрывает тот, кто не может сделать ход по этим правилам. Кто выигрывает при правильной игре?
Вначале на столе две кучки по 11 орехов. В свой ход нужно съесть 2 ореха из одной (любой) кучки и 1 орех из другой. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выигрывает, Петя или Вася?
На столе кучка из 12 спичек. Петя и Вася по очереди берут из нее 1 или 2 спички или же кладут 1 или 2 спички из числа ранее взятых, после чего записывают на своем листочке число спичек, оказавшихся в кучке после своего хода. Нельзя делать хода, после которого на листке окажутся два равных числа. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре? Та же задача для 13 спичек.
Вершины правильного 10-угольника окрашены через одну черной и белой краской. В свой ход можно провести диагональ, соединяющую вершины одного цвета. Эта диагональ не может иметь общих точек (кроме концов) с диагоналями, проведенными ранее. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет? Та же задача для 12-угольника.
Игра начинается с числа 1. В свой ход можно умножить последнее полученное число на любое целое число от 2 до 9. Выигрывает тот, кто первым получил число, большее 1000. Кто выиграет при правильной игре?
Белая ладья преследует черного слона на доске 3*1998 клеток. Они ходят по очереди по обычным правилам. Как должна ходить ладья, чтобы поймать слона? Белые ходят первыми.
На доске 1*100 клеток на поле №50 стоит фишка. В свой ход можно сдвинуть фишку влево или вправо на 1 или 2 клетки. Нельзя ставить фишку на поле, где она уже побывала. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?
На листе бумаги в клетку отмечены 100 точек -
вершины клеток, образующих квадрат 9*9. Двое игроков соединяют по очереди вертикальным или горизонтальным отрезком две соседние отмеченных точки. Игрок, после хода которого образуется квадратик, закрашивает его в свой цвет. Выигрывает тот, кто закрасил больше квадратов. Кто выигрывает?
Домашняя работа.
Докажите, что число п2+1 не делится на 3 ни при каком целом п.
Найдите такое целое а, что п
(п4+а) делится на 5 при любом целом п.
На всемирном фестивале молодежи встретились 6 делегатов. Выяснилось, что среди любых трех из них двое могут объясниться между собой на каком-нибудь языке. Докажите, что тогда найдется тройка делегатов, каждый из которых может объясниться с каждым.
Двадцати школьникам были заданы 20 задач. Оказалось, что каждый школьник решил две задачи, и каждая задача была решена двумя школьниками. Докажите, что разбор задач можно организовать так, чтобы каждый школьник рассказал одну из решенных им задач, и все задачи были разобраны.
Двое играющих по очереди проводят диагонали в правильном 1995-угольнике. Запрещается проводить диагональ, если она пересекается с теми, что проведены ранее. Проигрывает тот, после хода которого образуется четырехугольник из сторон и диагоналей, в котором не проведено ни одной диагонали. Кто выиграет?
Петя делит как хочет кучку из 200 спичек на 6 попарно неравных кучек (в каждой не менее 1 спички). Затем Борис выравнивает количество спичек в двух из этих кучек, беря несколько спичек из одной кучки. Число спичек, взятых Борисом, назовем выигрышем Пети, так что Борис старается взять как можно меньше спичек. Как надо играть Пете, чтобы его выигрыш стал наибольшим?