Kat&Pop - Рефераты - Программа ВМШ - семестр 3, занятие 1.

Занятие первое. (4.02.2001г.)

Делимость.

Можно делить по честному, а можно по братски…
(народная мудрость)

Определение: говорят, что целое число а делится на целое число b (или целое число b делит целое число а), если а/b - целое число. Обозначение: b|a.

Докажите свойства делимости:

  1. Если c и d оба делятся на b, то а) c+d делится на b; б) c-d делится на b.
    (Краткая запись:     b|c, b|d => b|(c+d), b|(c-d) )

  2. a|a.

  3. 0 делится на любое число.

  4. Пусть r - целое число, b|a => b|ar.

  5. b|a, c|b => c|a.

  6. Из утверждений "число a делится на 4", "число a делится на 12", "число a делится на 16", "число a делится на 40" только одно верное. Какое?

  7. Докажите, что сумма семи последовательных чисел делится на 7.

  8. Ковбой Джо попросил у бармена 3 пачки сигарет "Кэмел", 6 коробок спичек и трубку за 9 долларов 45 центов. Бармен насчитал за все 12 долларов 70 центов, после чего Джо вынул револьвер. Джо не знает, почем сигареты и спички. Как он догадался, что бармен хочет его обсчитать?

  9. Если a делится на 17, а b - нет, то верно ли, что а) a+b делится на 17 б) a-b делится на 17 в) ab делится на 17?

  10. Можно ли шахматную доску разрезать на такие одинаковые фигурки?

  11. Взяли 4 целых числа и каждое сложили с каждым. Получилось 6 чисел. Может ли сумма этих 6 чисел быть равной 100?

    12. Сложные задачи:

  12. Докажите, что если каждое из двух целых чисел является делителем другого, то модули этих чисел равны.

  13. Сколькими нулями оканчивается число 1995! ? Четна или нечетна последняя его ненулевая цифра?

  14. Докажите. что если ab и a+b делятся на с , то a^3+b^3 делится на с^2.

  15. Докажите, что при любом натуральном n число 4n + 15n – 1 делится на 9.

  16. 56а=65с . Доказать, что а+с делится на 11.

Геометрия. Признаки равенства треугольников.

Провести среди школьников блиц-опрос, что из следующих тем им известно:

  1. Углы на плоскости: смежные, вертикальные, параллельные прямые.

  2. Признаки равенства треугольников.

  3. Медиана, высота, биссектриса.

  4. Равнобедренные и равносторонние треугольники

  5. Медиана, высота и биссектриса в равнобедренном треугольнике.

  6. Внешний угол треугольника.

  7. Соотношения между сторонами и углами треугольника, неравенство треугольника, длина перпендикуляра и наклонных.

  8. Признаки равенства прямоугольных треугольников.

  9. Свойство серединного перпендикуляра, свойство биссектрисы.

  10. Параллельные прямые: признаки параллельности, односторонние, накрестлежащие углы и т.д.

  11. Параллелограмм, ромб, прямоугольник.

  12. Окружность. Взаимное расположение окружности и прямой, двух окружностей.

Задачи:

  1. На сколько частей могут разделить плоскость две прямые?

  2. На сколько прямых могут разделить плоскость четыре прямые? (Учтите, что если прямая пересекает какую-то прямую, то она пересекает и параллельную ей).

  3. Два брата отправились в лес по грибы. Лес пересекает дорога. Пока братья ходили по лесу, они неоднократно переходили через дорогу, причем старший брат сделал это на 3 раза больше, чем младший. Как вы думаете, по одну сторону дороги они оказались или по разные?

  4. Медиана треугольника делит его периметр пополам. Докажите, что треугольник равнобедренный.

  5. Медиана АМ треугольника АВС перпендикулярна его биссектрисе ВК. Найдите АВ, если ВС=12.

  6. Равны ли треугольники а) по двум сторонам и углу; б) по стороне и двум углам?

  7. Две высоты треугольника равны между собой. Докажите, что треугольник равнобедренный.

  8. ?Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

  9. ?Докажите, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

  10. Докажите, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

  11. Докажите, что если в треугольнике один угол равен 120° , то треугольник, образованный основаниями его биссектрис, прямоугольный.

Домашнее задание (всегда письменно!):

  1. Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из прямого угла, равна половине гипотенузы.

  2. Найти сумму острых углов пятиугольной звезды; семиугольной звезды.

  3. Доказать, что можно разрезать квадрат на а) 6 б) 7 в) 8 квадратов г) любое число квадратов, большее 5.

  4. Может ли наименьшее общее кратное двух чисел равняться их сумме?

  5. Количество натуральных делителей некоторого числа нечетно. Докажите, что это число – полный квадрат.

  6. Натуральное число возвели в квадрат. Может ли результат оканчиваться на 66?

  7. Докажите, что число, записываемое 27 единицами, делится на 27.

  8. У царя Дадона в одиночных камерах сидели 100 пленников. Поворот ручки отпирает каждую камеру, следующий поворот запирает, еще один снова отпирает и т.д. К празднику царь решил освободить часть пленников и накануне послал слугу, который повернул ручку на дверях каждой камеры. Все двери оказались отперты. Но тут пришел второй посыльный и повернул ручку каждой второй камеры. Двери 2-й, 4-й, 6-й,…камер вновь оказались заперты. Следующий посланец повернул ручки 3-й, 6-й, 9-й, 12-й и т.д. камер. Еще один – в каждой четвертой камере. То же повторяли следующие посланцы вплоть до сотого, повернувшего ручку сотой камеры. Наконец наступил праздник, и сидевшие в открытых камерах вышли на свободу. Сколько пленников освободил Дадон?