Kat&Pop - Рефераты - Программа ВМШ - семестр 3, занятие 2.

Определение: говорят, что целое число а делится на целое число b (или целое число b делит целое число а), если а=kb, где k - целое число. Обозначение: b|a ( или aM b).

Определение: целое число r называется остатком при делении целого числа a на целое число b, если a=kb+r, где k - целое число, а 0£ r<b. Говорят, что число а делится на число b с остатком r.

1. Каков остаток при делении на 7 числа 12, 44, 49, -7, -1?
2. x = 100·k – 16, k – целое. Чему равны частное и остаток при делении x а) на 100; б) на 5?
3. Может ли так быть, что при делении одного числа на другое получается два разных остатка?
4. Число а делится на b, если оно делится на b с остатком 0.

5. Не находя суммы 52715223+71337651+53258554+633164334+71574116+4325988, выберите верный ответ: а)886375457; б)886375478; в)886375866; г)86375942. (арифметика-1)
6. Какие из утверждений верны:

а) если число при делении на 8 дает остаток 3, то при делении на 4 оно также дает остаток 3;

б) если число при делении на 4 дает остаток 3, то при делении на 8 остаток сохраняется;

в) если число при делении на 15 дает остаток 7, то при делении на 5 остаток не равен 3;

г) если число при делении на 15 дает остаток 3, то при делении на 9 остаток не равен 6?

7. Найдите последнюю цифру числа а) 2001²⁰⁰¹; б) 549⁴⁹; в) 345673³⁷⁶⁵⁴³; г).
8. Найдите две последние цифры числа а) 1999²⁰⁰⁰; б) 16²⁰⁰⁰.
9. а) Доказать, что квадрат любого натурального числа либо делится на 9, либо дает при делении на 3 остаток 1.

б) Доказать, что квадрат любого натурального числа при делении на 4 дает остатки либо 0, либо 1. (арифметика-2)

10. Докажите, что Екатерина Георгиевна должна отпраздновать свое 28-летие в такой же день недели, в какой она родилась.
11. Пушкин родился 6 июня 1799 года (по новому стилю). Какой это день недели (учтите, что 1800-й и 1900-й годы не были високосными)?
12. Найдите остаток от деления числа 1997·1998·1999 + 2000³ на 7.
13. Найдите p, если:

а) p, p + 10, p + 14 – простые числа;

б) p, 2·p + 1, 4·p + 1 – простые числа.

1. Построение угла, равного данному, со стороной на данной прямой и вершиной в данной точке.
2. Построение отрезка на данной прямой, равного данному.
3. Построение треугольника по трем сторонам.
4. Поиск середины отрезка.
5. Построение перпендикуляра к данной прямой в данной точке (из данной точки).
6. Построение биссектрисы данного угла.

1. Двум сторонам и высоте, проведенным из одной вершины.
2. По стороне и высотам, проведенным к двум другим сторонам.
3. По углу, высоте и биссектрисе, проведенным из вершины этого угла.
4. По стороне, медиане, проведенной к этой стороне и высоте, опущенной на другую сторону.
5. Через данную точку проведите прямую, пересекающую две данные прямые под равными углами.
6. Дана прямая l и точки А и В по разные стороны от l. Постройте точку С на прямой l, так чтобы l была биссектрисой угла АСВ.
7. Дана прямая l и точки А и В по одну сторону от нее. Постройте точку С на l, так чтобы луч света, выпущенный из А, отразившись от l в точке С, попал бы в точку В.
8. Внутри острого угла даны точки М и N. Как из точки м направить луч света, чтобы он, отразившись последовательно от сторон угла, попал в точку N.

1. Докажите, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
2. Найдите последнюю ненулевую цифру числа 2000!
3. Постройте биссектрису угла, вершина которого не помещается на листке.
4. Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.
5. Разделите пополам данный отрезок, если есть линейка и сломанный циркуль, позволяющий изображать окружность только одного радиуса, причем этот радиус меньше половины отрезка.
6. На поле растут деревья с золотыми монетами (на разных деревьях может быть разное число монет!). Каждую ночь на каждом дереве вырастает одна монета. 1 марта на деревьях было всего 2000 монет. В марте Буратино посадил еще одно дерево, и 31 марта на деревьях оказалось всего 2993 монеты. В какой день Буратино посадил дерево?
7. Натуральные числа x, y, z таковы, что x² + y² = z². Докажите, что одно из них делится а) на 2; б) на 3; в) на 5.