Доблестная Советская милиция поймала в плен больше десяти бандитов. Следователь сказал посадить их всех в 10 камер. Докажите, что в одну из камер попадет не меньше двух бандитов.
Докажите, что среди 25 учеников класса по крайней мере трое родились в одном месяце.
В районе 1800 учеников прошли тестирование. У Пашеньки 31 (из 32) неверный ответ, у остальных - меньше. Докажите, что найдутся 59 школьников с одинаковыми результатами тестирования.
Доказать, что в компании из а) пяти б) n человек найдутся двое, у которых одинаковое число знакомых в этой компании.
За столом сидит 100 человек. 51 из них лысые. Докажите, что какие-то двое лысых сидят друг напротив друга.
В квадрат со стороной 1м бросили произвольным образом 51 точку. Доказать, что квадратиком 20´
20см.кв. можно накрыть какие-то три точки.
Десять команд играют турнир в один круг (каждый с каждым). Докажите, что, как бы ни было составлено расписание турнира, в любой момент найдутся две команды, сыгравшие одинаковое количество игр.
В мешке лежат шарики 2 цветов. Сколько шариков нужно вытащить неглядя, чтобы с уверенностью утверждать, что вытащено два шарика одного цвета? А если цветов не 2, а
n?
Компания из 21 человека отправилась в лес по грибы. В результате они собрали 200 грибов. Докажите, что какие-то двое из них собрали грибов поровну.
Пятеро молодых людей получили на всех зарплату - 1500 рублей. Каждый из них хочет купить себе магнитофон ценой 320 рублей. Докажите, что кому-то из них придется подождать до следующей зарплаты.
*В бригаде 7 человек и их суммарный возраст - 332 года. Докажите, что из них можно выбрать трех человек, сумма возрастов которых не меньше 142 лет.
*На планете Тау Кита суша занимает больше половины всей площади. Доказать, что таукитяне могут прорыть через центр планеты шахту, соединяющую сушу с сушей.
*Плоскость раскрашена в а) два б*) три цвета произвольным образом. Докажите, что на этой плоскости найдутся две точки одного цвета на расстоянии один метр.
Хан Батый в приступе гнева проколол на своем ковре 4´
4 пятнадцать дырок своей острой саблей. Докажите, что его любимая жена Гюльчетай может вырезать из этого ковра маленький (1´
1) не испорченный коврик.
В клетках квадрата 3´
3 расставлены числа 0, 1, -1. Докажите, что какие-то две из 8 сумм по всем строкам, всем столбцам и двум главным диагоналям будут равны.
*Докажите, что среди любых 6 человек есть либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых.
Докажите, что среди любых одиннадцати чисел найдутся два, разность которых делится на 10.
Докажите, что среди любых р чисел найдутся два, разность которых делится на р-1
.
Докажите, разность каких-то двух степеней двойки делится на 1998.
В ряд выписано 100 натуральных чисел. Доказать, что найдутся несколько подряд, сумма которых делится на 100.
Доказать, что среди любых 13 чисел найдутся два, сумма или разность которых делится на 23.
Измерение углов и отрезков.
Точки М, А и В расположены на одной прямой, причем отрезок АМ вдвое больше отрезка ВМ. Найти АМ, если АВ=6.
Один из углов, образованных пересекающимися прямыми a и b, равен 15°
. Прямая a1 симметрична прямой a относительно прямой b, а прямая b1 симметрична прямой b относительно a. Найти углы, образованные прямыми a1 и b1.
Точки А,В,С расположены на одной прямой и АС:ВС=
m:n (m и n - натуральные). Найдите отношения АС:АВ и ВС:АВ.
Точка В делит отрезок АС в отношении АВ:ВС=2:1. Точка
D делит отрезок АВ в отношении AD:DB=3:2. В каком отношении точка D делит отрезок АС?
Даны точки А и В. Для каждой точки М, не совпадающей с точкой В и лежащей на прямой АВ, рассмотрим отношение АМ:ВМ. Где расположены точки, для которых это отношение: а)больше 2, б) меньше 2?
Имеется угольник с углом 70°
. Как построить с его помощью угол в 40°
?
Точка М лежит внутри (вне) угла АОВ, ОС - биссектриса этого угла. Докажите, что угол МОС равен полуразности (полусумме) углов АОМ и ВОМ.
На сколько градусов поворачивается за 1 минуту минутная стрелке? А часовая?
Какой угол образуют минутная и часовая стрелки в 3 часа 5 минут?
Из точки на листе бумаги провели четыре луча, делящих плоскость на четыре угла. Затем лист разрезали по биссектрисам этих углов на четыре части (которые также являются углами). Докажите, что два из этих углов образуют в сумме 180°
и два других тоже.
Письменная домашняя работа.
Даны точки А и В. Где на прямой АВ расположены точки, расстояние от которых до точки А а) вдвое больше, чем до точки В; б) втрое меньше, чем до точки В?
Имеется угольник с углом 19°
. Как построить с его помощью угол в 1°
?
Автомат выполняет два действия: прибавляет к числу 8 или умножает число на 3. Из каких однозначных чисел за несколько действий с помощью этого автомата можно получить 1997?
Звезда Бегельгейзе имеет планетную систему, и все планеты обитаемы. Известно, что расстояния между планетами различные. На каждой планете живет Астроном, наблюдающий ближайшую к нему планету. Докажите, что если число планет нечетно, то какую-то планету никто не наблюдает.
(12 баллов)
Докажите, что существует число, записанное одними единицами, делящееся на 1997.