Фигура "верблюд" ходит по доске 10´
10 на три клетки по вертикали и одну по горизонтали, или на три по горизонтали и одну по вертикали. Можно ли пройти "верблюдом" с какого-то исходного поля на соседнее с ним по стороне?
В каждой клетке на доске 7´
7 сидит жук. По команде все жуки переползают на соседние по стороне клетки. Доказать, что после этого какая-то клетка останется пустой.
Курсанты военного училища, что рядом с 64-ой школой, стоят на плацу в виде квадрата 9´
9, и у каждого из них пьет кровь комар. В момент подъема флага все комары взлетают и садятся на соседнего по диагонали человека. Докажите, что после такого массового перелета по крайней мере девятерых страдальцев никто не будет кусать.
В кружочках на рисунке расположены цифры от 1 до 6. За один ход разрешается выбрать любую пару соседних (т.е. соединенных отрезками) чисел и прибавить к каждому из них одно и то же целое число (оно может меняться от шага к шагу). Можно ли из совокупности чисел А получить совокупность чисел Б?
Докажите, что доску 8´
8 нельзя замостить 15 фигурками 1´
4 и одной фигуркой из четырех клеток в форме буквы "Г".
Докажите, что квадрат 6´
6 нельзя разрезать на 11 прямоугольников 1´
3 и один уголок из трех клеток.
Дно прямоугольной коробки выложено плитками 2´
2 и 1´
4. Плитки высыпали из коробки и потеряли одну плитку 2´
2. Вместо нее достали плитку 1´
4. Докажите, что выложить дно коробки плитками теперь не удастся.
На доске 8´
8 в левом нижнем углу в виде квадрата 3´
3 лежат 9 фишек. За ход разрешается какой-нибудь одной фишке перепрыгнуть через какую-нибудь другую (не обязательно соседнюю) фишку на клетку, симметричную первой фишке относительно второй (если эта клетка свободна). Можно ли после нескольких таких ходов собрать все фишки в квадрате
3´
3 а) в левом верхнем углу доски; б) в правом верхнем углу доски?
Из доски 248´
198 вырезали 1999 крестиков из пяти клеток. Докажите, что из оставшейся части можно вырезать еще один такой крестик
.
Принцип крайнего
Я самый, самый, самый, самый …
Среди всех
учеников 6 класса прошло соревнование по перетягиванию каната, в результате все оказались занесены в список по убыванию силы. Владимир Владимирович задумался: верно ли, что любые трое перетянут любых двоих. За сколько перетягиваний он сможет это установить?
На шахматной доске стоит несколько ладей. Докажите, что какая-то из ладей бьет не более двух других.
По кругу выписаны несколько чисел, каждое равно полусумме двух соседних. Докажите, что все числа равны.
Шахматная доска разбита на домино. Докажите, что какая-то пара домино образует квадратик 2´
2.
Кубик Рубика 3´
3´
3 надо распилить на единичные кубики. После распила части можно перекладывать и прикладывать так, чтобы можно было пилить несколько частей одновременно. Докажите, что понадобится не менее 6 прямых распилов.
Семь грибников собрали вместе 100 грибов, причем каждый собрал разное количество. Докажите, что какие-то три грибника собрали вместе не менее 50 грибов.
Известно, что если у двух жителей с.Малиновка поровну знакомых среди односельчан, то общих знакомых у них нет. Докажите, что найдется житель, у которого ровно один знакомый односельчанин.
Домашняя работа (всегда письменно).
Часть 1. Алгоритмы.
Двое мальчиков катались на лодке. К берегу подошел отряд солдат. Лодка так мала, что на ней могли переправиться двое мальчиков или только один солдат. Однако солдаты переправились через реку. Как?
По целым точкам числовой оси прыгает кузнечик. Он может прыгать на 3 вперед или на 2 назад. Как ему пропрыгать по числам от 1 до 1000 ровно по одному разу?
Число 1999! заменили на его сумму цифр. Полученное число снова заменили на его сумму цифр, и т.д. а) Докажите, что рано или поздно получится однозначное число. б) Найдите это число.
Часть 2. Теория чисел.
Докажите, что если четное число умножить на любое, то получится четное число, а при умножении двух нечетных чисел получится нечетное число.
Докажите, что при умножении чисел последняя цифра их произведения равна последней цифре произведения их последних цифр.
*Докажите, что остаток произведения равен остатку произведения остатков. (15 баллов)
