Почему верны признаки делимости на 2, 5, 10, 25, 50, 100?
Почему всякое число вида 10…0 при делении на 9 дает в остатке 1?
Какой остаток при делении на 9 дает число вида А0…0? А при делении на 3?
Докажите признак делимости на 9 и на 3.
Как проверить, делится ли число на а) 6 б) 12 в) 15 г) 18 д) 30 е) 45 ж) 75 з) 225?
Какой остаток дает при делении на 11 число вида 10…0, если у него а) четное б) нечетное число нулей?
Докажите признак делимости на 11: число делится на 11 тогда и только тогда, когда знакопеременная сумма его цифр делится на 11. (Если перед всеми цифрами числа поставить знаки + и -, чередуя их, и начиная с плюса перед последней цифрой, то значение полученного выражения будет называться знакопеременной суммой цифр числа.)
Разделим число на двузначные числа, начиная с конца. (Если цифр не хватает, допишем спереди 0). Найдем сумму таких двузначных чисел. Докажите, что число делится на 11 тогда и только тогда, когда такая сумма делится на 11.
Геометрия. Геометрические неравенства.
Бродя зигзагами удачи,
Что не приводят нас домой,
Ты вспомни, что наикратчайший
И самый легкий путь - прямой.
Неравенство треугольника. Против большей стороны лежит больший угол. Катет меньше гипотенузы.
Доказать, что каждая сторона четырехугольника меньше суммы трех других сторон.
Доказать, что высота неравнобедренного прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, меньше половины гипотенузы.
Где надо построить колодец в деревне с четырьмя домами, расположенными как указано на рисунке, чтобы жителям носить воду как можно меньше.
Докажите, что в выпуклом четырехугольнике сумма диагоналей больше полупериметра, но меньше периметра этого четырехугольника.
Баянист дядя Вася и доярка тетя Глаша живут в разных деревнях. Где им назначить встречу у реки, протекающей неподалеку, чтобы дяде Ване, который как истинный джентльмен пойдет провожать тетю Глашу после свидания, ходить как можно меньше?
Даны точки А и В. Где на плоскости находятся точки, расстояние от которых до А меньше, чем до В.
Докажите, что сумма расстояний от точки внутри треугольника до его вершин больше полупериметра, но меньше периметра этого треугольника.
Дан равнобедренный треугольник с углом 20°
при вершине. Доказать, что его боковая сторона больше удвоенного основания.
Две высоты треугольника равны 12 и 20. Докажите, что третья высота меньше 30.
На отрезке АВ дано п точек. Докажите, что сумма расстояний от некоторой точки отрезка до этих точек не меньше п
/2.
Домашняя работа (всегда письменно).
Из данного числа вычли число, полученное из данного перестановкой цифр. Докажите, что получившаяся разность делится на 9. (Если сразу доказать это не получится, попробуйте сначала взять двузначное число в качестве данного, потом - трехзначное.)
Попробуйте сформулировать признаки делимости на 99, 101.
s
Попробуйте придумать какие-нибудь свои признаки делимости (на числа, которые мы не изучали), или можете где-нибудь прочитать про новые признаки делимости.
В десятизначном числе все цифры встречаются по одному разу. Может ли оно делиться на 11?
Придумайте, как опровергнуть такой признак делимости на 27: Число делится на 27, если сумма его цифр делится на 27.
В треугольнике две высоты не меньше сторон, к которым они проведены. Найти углы треугольника.
