В мешке лежат шарики двух разных цветов: желтого и розового. Какое наименьшее число шариков надо вынуть из мешка вслепую так, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета?
В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 600000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся по крайней мере две елки с одинаковым числом иголок.
Мальчик купил 49 апельсинов и роздал их среди 8 друзей. Доказать, что кому-то из друзей досталось по крайней мере 7 апельсинов.
В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок (в каждом ящике яблоки только одного сорта). Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта.
В ящике лежат цветные карандаши: 10 красных, 8 синих, 8 зеленых и 4 желтых. В темноте берем из ящика карандаши. Какое наименьшее количество карандашей надо взять, чтобы среди них заведомо
а) было не меньше 4 карандашей одного цвета.
б) был хотя бы один карандаш каждого цвета.
в) было бы не меньше 6 синих карандашей.
(Приведите примеры, показывающие, что меньше взять нельзя).
В ящике лежат 100 флажков: красных, зеленых, желтых, синих. Какое наименьшее количество флажков надо взять не глядя, так чтобы среди них нашлось не менее10 одноцветных? ( Приведите пример, показывающий, что меньше взять нельзя.)
В ящике лежат 10 пар перчаток черных и 10 пар перчаток красных. Сколько перчаток надо вытащить из ящика наугад, чтобы наверняка среди них были:
а) две перчатки одного цвета
б) одна пара перчаток одного цвета.
в) одна пара перчаток (возможно одного цвета)?
(Приведите примеры, показывающие, что меньше взять нельзя).
Задачи второго уровня:
Доказать, что из любых шести человек можно выбрать трех попарно знакомых или трех попарно незнакомых.
**Имеется 30 гирек с массами 1г, 2г, …30г. Убрали какие-то 10 гирек с суммарной массой в 1/3 общей массы всех гирек. Докажите, что оставшиеся 20 гирек можно разложить на две кучки равной массы.
На шахматной доске поставили 31 пешку. Докажите, что остался "уголок", составленный из трех клеток, на котором нет ни одной пешки.
*В клетках шахматной доски произвольным образом расставлены номера от 1 до 64. Докажите, что найдутся две клетки, имеющие общую сторону, разность номеров которых больше 4.
*На доске написано число 4127. За один ход к написанному на доске числу прибавляют число 1917 и записывают на доске вместо старого числа четыре последние цифры нового. Докажите, что когда-нибудь на доске появится число 2210.
*Шахматная доска разрезана на 13 прямоугольников с целым числом клеток. Могут ли они все быть различными?
Принцип Дирихле и числа:
Записаны восемь чисел. Докажите, что разность каких-то двух из них делится на 7.
*(см. 14) Записаны на доске в ряд десять чисел. Доказать, что сумма каких-то нескольких чисел, записанных подряд, делится на девять.
(см. 14) Докажите, что разность двух каких-то степеней двойки делится на 1998.
*Доказать, что среди 13 чисел найдется два, сумма или разность которых делится на 23.
Доказать, что существует число, записанное одними единицами, которое делится на 1997.
Домашнее задание по принципу Дирихле: (урок 22.10)
Ребра полного 17-вершинного графа закрашены в три цвета. Доказать, что найдется одноцветный треугольник.
Доказать что, среди 82 кубиков, каждый из которых выкрашен в определенный цвет, всегда можно выбрать 10 кубиков так, что либо все они выкрашены в разные цвета, либо все они одного цвета.
(подсказка: см. задачу №4 из прошлой темы "П.Д")
Десять команд играют турнир в один круг (каждый с каждым). Докажите, что, как бы ни было составлено расписание турнира, в любой момент найдутся две команды, сыгравшие одинаковое количество игр.