Число называется простым, если у него нет других делителей, кроме самого себя и единицы.
Определение Два числа называются взаимно простыми, если у них нет общих делителей, больших единицы.
Пусть P и Q – различные простые числа. Сколько делителей у числа 1) PQ; 2) P2Q; 3) PQ2; 4) PnQm ?
Известно, что 56А = 65В. Докажите, что А+В – составное число.
Определение
Наибольшим общим делителемдвух чисел A и B называется наибольшее из чисел, являющихся делителем каждого из этих чисел. Обозначение: НОД(A, B)
Определение
Наименьшим общим кратнымдвух чисел A и B называется наименьшее из чисел, делящееся на каждое из этих чисел. Обозначение: НОК(A, B)
Докажите, что для любых натуральных чисел А и В верно равенство
НОД(
A, B) НОК(A, B)=АВ
Пусть А делится на В. Докажите что НОД(А,В)=В
Пусть А
< В. Докажите, что НОД(А, В)= НОД(А, В-А)
Пусть В =
КА + R, где R < А – остаток от деления В на А. Докажите, что НОД(А, В)=НОД(R, А)
Алгоритм Евклида.
Чтобы найти НОД двух чисел А и В (А<В), надо действовать следующим образом: 1. Найти остаток от деления числа В на числа А (число R). Если R=0, то НОД(А, В)=А. Если R¹
0, НОД(А, В)=НОД(R, А). 2. Далее ищем НОД(R, А) таким же способом, постепенно уменьшая числа, НОД которых надо искать.
Найдите НОД следующих чисел: 1) 1998 и 8991; 2) 7387 и 82861; 3) 409457 и 938561.
Найдите наибольший общий делитель чисел 2А+13 и А+7
Найдите НОД(2
100-1, 2120-1)
Геометрия. Площади.
Лариса Ивановна и Виктор Яковлевич делят квадратный пирог. Виктор Яковлевич отмечает внутри пирога точку, а Лариса Ивановна соединяет ее отрезками со всеми вершинами квадрата и забирает себе любые два куска, не имеющие общих сторон. Как должен действовать Виктор Яковлевич, чтобы получить побольше пирога?
Внутри квадрата отметим две точки и соединим их отрезками со всеми вершинами (см. рис. 1). Могут ли все девять полученных частей иметь одинаковую площадь?
Найдите площади фигур, изображенных на рисунке 2.
а) Через каждую вершину выпуклого четырехугольника проведена прямая, параллельная его диагонали. Докажите, что полученный параллелограмм по площади вдвое больше четырехугольника.
б) Середины соседних сторон выпуклого четырехугольника соединены отрезками. Докажите, что площадь полученного четырехугольника вдвое меньше площади данного.
Существует ли такой треугольник, что а) все его стороны больше 1 км, а площадь меньше 1 см2; б) все его высоты меньше 1 см, а площадь больше 1 км2; в) все стороны треугольника меньше 1 см, а его площадь больше 1 см2.
Докажите, что для площади S треугольника со сторонами а, b, c имеет место неравенство S £
ab/2;
а) Докажите, что медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.
б) В треугольнике проведены все три медианы, которые разбивают его на шесть треугольников. Докажите, что площади полученных треугольников равны.
Докажите, что площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на расстояние между ними.
