Kat&Pop - Рефераты - Программа ВМШ - семестр 3, занятие 7.

1. Разменный автомат меняет одну монету на пять других. Можно ли с его помощью разменять одну монету на 26 монет?
2. На доске написаны числа от 1 до 20. Можно стереть любые два числа a и b и записать число а) a+b; б) ab; в) a+b-2. Какое число получится в итоге?
3. В столе стоят 50 стаканов, из них 25 – вверх дном. Сможет ли сторож дядя Вася, переворачивая по 4 стакана, получить все стаканы стоящими так, чтобы можно было налить в них священный напиток?
4. На шахматной доске разрешается за один ход перекрашивать все клетки в одной строке или в одном столбце. Может ли после нескольких ходов остаться ровно одна белая клетка?
5. В алфавите языка племени УЫУ две буквы: У и Ы, причем этот язык обладает интересным свойством: если из слова выкинуть стоящие рядом буквы УЫ и УЫУУ, то смысл слова не изменится. Точно так же смысл слова не меняется при добавлении в любое место слова буквосочетаний УУ, ЫЫУУЫЫ и УЫЫУ. Можно ли утверждать, что слова УЫЫ и УЫУЫ имеют одинаковый смысл?
6. 6 детей из 7-го класса стоят по кругу, и на каждом из них сидит комар. Время от времени какие-то 2 комара перелетают на соседнего ребенка – один по часовой стрелке, а другой – против. Могут ли все комары собраться на одном несчастном?
7. Алеша Попович, Добрыня Никитич и Илья Муромец играют в игру. По очереди они приезжают к Змею Горынычу и срубают ему головы. Алеша может срубить 1 или 3 головы, Добрыня – 1 или 6 голов, а Илья – 9 или 10 голов. Если Змею срубить всего одну голову, то у него заново вырастает 4 головы. Выигрывает тот, кто уложит Змея. Кто выигрывает при правильной игре, если у Змея: а) 1999; б) 2000; в) 2001 голова?
8. Три кузнечика на плоскости (не находящиеся на одной прямой) играют в чехарду. Каждую секунду один из них прыгает через какого-то другого. Могут ли они через 25 секунд оказаться на своих первоначальных местах?
9. Квадратное поле разбито на 100 одинаковых участков, 9 из которых поросли бурьяном. Известно, что бурьян за год распространяется на те и только те участки, у которых не менее 2-х соседних (то есть имеющих общую сторону) участков уже поросли бурьяном. Докажите, что поле никогда не зарастет бурьяном полностью.
10. В вершинах правильного 12-угольника расставлены числа +1 и –1 так, что во всех вершинах, кроме одной, стоят +1. Разрешается менять знак в любых k подряд идущих вершинах. Можно ли такими действиями добиться того, чтобы единственное число –1 сдвинулось в соседнюю с исходной вершину при а) k=3; б) k=4; в) k=6; г) k=11?

1. Имеется правильный 11-угольник. Сколькими способами можно раскрасить 5 из его вершин в 5 разных цветов?
2. Сколько существует 6-значных чисел, в записи которых все цифры различны?
3. Сколькими способами можно выписать в колонку фамилии семи учеников (все фамилии различны)?

4. ---

   Сколько существует 5-значных чисел, делящихся на 4, в записи которых не используются цифры 0, 4, 6, 8?
5. Сколько есть 5-значных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?
6. Сколько существует перестановок букв в слове МАРС? БАУНТИ?
7. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не били друг друга?
8. Рассмотрим цифры 0, 1,..., 9. Сколько существует последовательностей этих цифр (перестановок) таких, что цифры 0 и1 не стояли бы рядом?
9. Сколько существует 7-значных чисел, в записи которых встречается по крайней мере одна из цифр 0, 1, 2?
10. Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из 10 букв. Словом называется любая последовательность букв, в которой никакая буква не встречается 3 раза подряд. Сколько существует слов, состоящих не более, чем из 4-х букв?
11. Каждая из 10000 карточек занумерована последовательностью из 4-х цифр (от 0000 до 9999). Сколько существует “счастливых” карточек (сумма первых двух цифр равна сумме двух последних цифр) ?

1. Квадрат разрезан прямыми, параллельными его сторонам, на прямоугольники, которые раскрашены в черный и белый цвета в шахматном порядке (см. рисунок). При этом оказалось, что общая площадь черных прямоугольников равна площади белых прямоугольников. Докажите, что прямоугольники можно переместить так, что все черные прямоугольники составят один прямоугольник.
   
2. Докажите, что дробь 10n+6/2n+1 несократима ни при каком целом n.
3. Докажите. что если ab и a+b делятся на с , то a³+b³ делится на с².
4. *Докажите, что при любом натуральном n число делится на 3ⁿ⁺¹.
5. В кружке у любого члена имеется один друг и один враг. Доказать, что а) число членов кружка четно. б) кружок можно разделить на 2 нейтральных кружка (т.е. таких кружка, где ни у кого нет ни друзей, ни врагов).
6. Докажите, что среди любых р чисел найдутся два, разность которых делится на р-1.
7. Доказать, что существует число, записанное одними единицами, которое делится на 1997.