Алгебра для экономистов.
Задачи повышенной трудности

Содержание:

Задача 1 (про Aⁿ)
Задача 2 (определитель Ван дер Монда)

1. Задача:

   Вычислить Aⁿ, если

   a) A=

   (

   1 1 0 0 1 1 0 0 1

   )

   б) A=

   (

   1 1 1 0 1 1 0 0 1

   )

Решение:

Решим только для пункта а). Пункт б) решается абсолютно аналогично. Гипотеза:

An=

(

1 n (n-1)n/2 0 1 n 0 0 1

)

Докажем гипотезу методом математической индукции.
1. База индукции. При n=1 гипотеза верна.
2. Индукционное предположение. Предположим, что при $n=k$ формула (гипотеза) верна.
3. Индукционный переход. Докажем, используя предположение 2, что формула верна при $n=k+1$.
Действительно, A^k+1=A^kA=

=

(

1 k (k-1)k/2 0 1 k 0 0 1

)

*

(

1 1 0 0 1 1 0 0 1

)

=

(

1 k+1 (k+1)k/2 0 1 k+1 0 0 1

)

А это именно то, что и надо доказать.

---

2. Задача:

   Вычислить определитель:

   | x1  x2  x3  ... xn  |    
   | x12 x22 x32 ... xn2 |
   | x13 x23 x33 ... xn3 |
   | ................. |
   | x1n x2n x3n ... xnn |
   

Решение:

| x1  x2  x3  ... xn  |    
| x12 x22 x32 ... xn2 |
| x13 x23 x33 ... xn3 | =
| ................. |
| x1n x2n x3n ... xnn |

Вычтем из каждой строчки предыдущую, умноженную на $x_n$

   | x1           x2          x3         ...   xn     |    
   | x12-x1 xn    x22-x2 xn    x32-x3 xn   ...   xn2-xn2 |
 = | x13-x12xn    x23-x22xn    x33-x32xn   ...   xn3-xn3 | =
   | .............................................. |
   | x1n-x1n-1xn  x2n-x2n-1xn  x3n-x3n-1xn  ...  xnn-xnn  |

   | x1            x2           x3           ...   xn-1            xn |    
   | x1(x1-xn)    x2(x2-xn)      x3(x3-xn)    ...   xn-1(xn-1-xn)   0  |
 = | x12(x1-xn)   x22(x2-xn)     x32(x3-xn)    ...  xn-12(xn-1-xn)   0  | =
   | ............................................................. |
   | x1n-1(x1-xn)  x2n-1(x2-xn)   x3n-1(x3-xn)  ...  xn-1n-1(xn-1-xn)  0  |

разложим этот определитель по последнему столбцу, получим

            | x1(x1-xn)    x2(x2-xn)      x3(x3-xn)    ...   xn-1(xn-1-xn)  |
 = (-1)n+1xn | x12(x1-xn)   x22(x2-xn)     x32(x3-xn)    ...  xn-12(xn-1-xn)  | =
            | ......................................................... |
            | x1n-1(x1-xn)  x2n-1(x2-xn)   x3n-1(x3-xn)  ...  xn-1n-1(xn-1-xn) |

вынесем из каждого столбца общий множитель, получим

                                    | x1    x2      x3    ...   xn-1  |
 = (-1)n+1xn(x1-xn)(x2-xn)...(xn-1-xn) | x12   x22     x32    ...  xn-12  | =
                                    | ............................. |
                                    | x1n-1  x2n-1   x3n-1  ...  xn-1n-1 |

внесем по минусу в каждую из (n-1) скобок, получим мы пришли к определителю того же вида, что был в самом начале, только он стал меньше. Повторяя все действия, получим в самом конце:
=x₁x₂...x_n П_i<j(x_j-x_i).