вернуться к списку

Задачи для школьников

Содержание:

Задача 1 (про стрелки часов)
Задача 2 (про косинус угла π/5)

  1. Задача:

    Доказать, что три стрелки (часовая, минутная, секундная) не могут расположиться так, что угол между любыми двумя стрелками составляет 120 градусов.

    2. Решение:

    Часовая стрелка делает 1/12 оборотов в час, минутная 1 оборот в час, секундная 60 оборотов в час.

    В 0 часов 0 минут 0 секунд все три стрелки стоят ровно на 12. Обозначим за t время, когда все три стрелки расположатся точно под углами 120 градусов. t будем измерять в часах (ясно, что t не обязано быть целым). Понятно, что можно взять t<12, т.к. в 12 часов ровно все три стрелки снова встретятся на цифре 12 и мы придем к начальной позиции.

    Тут возникает 2 случая: стрелки могли расположиться в порядке часовая - минутная - секундная (смотрим порядок по ч.с.) либо в порядке часовая - секундная - минутная.

    В первом случае: Минутная стрелка прошла t оборотов, а часовая t/12 оборотов, причем минутная стрелка находится на 1/3 оборота впереди. Т.е. t-t/12=1/3+k, где k -- целое число. (Минутная стрелка от часовой прошла какое-то целое число оборотов плюс еще треть оборота). Аналогично составляем второе уравнение: 60t-t=1/3+m, где m -- целое число.

    Итак, 11t/12=1/3+k, 697t=12(m-k), таким образом, 12(m-k)/697=4/11+12k/11. Напомним, что здесь k и m -- целые числа. Тогда: 33(m-k)-697*3k=697.

    Очевидно, что левая часть этого равенства делится на 3, а правая не делится. Пришли к противоречию. Следовательно, первый случай возникнуть не может.

    Второй случай разбирается аналогично.

  2. Задача:

    Найти косинус угла π/5.

    3. Решение:

    Я знаю 2 способа решения этой задачи.

    Первый способ, геометрический.

    Треугольник

    Строим равнобедренный треугольник АВС, угол при вершине А — π/5, соответственно, углы при основании ВС = 2π/5.

    Замечаем, что основание ВС=2АВcos(2π/5). Теперь проводим биссектриссу угла В.

    Заметим, что получился снова равнобедренный треугольник BKC. Заметим, что
    СК=2ВСcos(2π/5)=4АВcos2(2π/5).

    С другой стороны, треугольник ВКС равнобедренный, значит ВС=ВК. Но треугольник АВК тоже равнобедренный, значит ВК=КА. Получаем, что
    АВ=АС=АК+КС=ВС+КС=2АВcos(2π/5)+4ABcos2(2π/5).

    И получаем, что cos(2π/5) — корень уравнения:
    4t2+2t-1=0.
    Один корень отрицательный — посторонний, т.к. 2π/5<π/2. Получаем, что соs(2π/5)=(√(5)-1)/4.

    Окончательно получаем: cos(π/5)=(√(5)+1)/4.

    Второй способ (алгебраический) состоит в том, чтобы сначала выразить sin(5x) через sin(x). Получим:

    sin(5x)=sin(x) (16 cos4(x)-12 cos2(x)+1).

    Мы знаем, что sin (π)=0, а sin(π/5) не равен 0. Получаем, что cos(π/5) удовлетворяет биквадратному уравнению:

    16t4-12t2+1=0.

    Получаем, что t2=(3±√(5))/8.

    Оцениваем, что cos2(π/5) больше, чем cos2(π/4)=1/2, получаем, что нужный нам корень — (3+√(5))/8. Извлекаем квадратный корень, получаем cos(π/5)=(1+√(5) )/4. (учитываем, что cos(π/5)>0)

    Ответы в двух способах сошлись!

Вверх Домой