вернуться к списку

Алгебра для экономистов.
Задачи повышенной трудности

Содержание:

Задача 1 (про An)
Задача 2 (определитель Ван дер Монда)


  1. Задача:

    Вычислить An, если
    a) A= (
    1 1 0
    0 1 1
    0 0 1
    ) б) A= (
    1 1 1
    0 1 1
    0 0 1
    )

  2. Решение:

    Решим только для пункта а). Пункт б) решается абсолютно аналогично. Гипотеза:

    An= (
    1 n (n-1)n/2
    0 1  n
    0 0  1
    )
    Докажем гипотезу методом математической индукции.
    1. База индукции. При n=1 гипотеза верна.
    2. Индукционное предположение. Предположим, что при $n=k$ формула (гипотеза) верна.
    3. Индукционный переход. Докажем, используя предположение 2, что формула верна при $n=k+1$.
    Действительно, Ak+1=AkA=
    = (
    1 k (k-1)k/2
    0 1  k
    0 0  1
    ) * (
    1 1 0
    0 1 1
    0 0 1
    ) = (
    1 k+1 (k+1)k/2
    0  1  k+1
    0  0  1
    )
    А это именно то, что и надо доказать.


  3. Задача:

    Вычислить определитель:

    | x1  x2  x3  ... xn  |    
    | x12 x22 x32 ... xn2 |
    | x13 x23 x33 ... xn3 |
    | ................. |
    | x1n x2n x3n ... xnn |
    

  4. Решение:

    | x1  x2  x3  ... xn  |    
    | x12 x22 x32 ... xn2 |
    | x13 x23 x33 ... xn3 | =
    | ................. |
    | x1n x2n x3n ... xnn |
    
    Вычтем из каждой строчки предыдущую, умноженную на $x_n$
       | x1           x2          x3         ...   xn     |    
       | x12-x1 xn    x22-x2 xn    x32-x3 xn   ...   xn2-xn2 |
     = | x13-x12xn    x23-x22xn    x33-x32xn   ...   xn3-xn3 | =
       | .............................................. |
       | x1n-x1n-1xn  x2n-x2n-1xn  x3n-x3n-1xn  ...  xnn-xnn  |
    
       | x1            x2           x3           ...   xn-1            xn |    
       | x1(x1-xn)    x2(x2-xn)      x3(x3-xn)    ...   xn-1(xn-1-xn)   0  |
     = | x12(x1-xn)   x22(x2-xn)     x32(x3-xn)    ...  xn-12(xn-1-xn)   0  | =
       | ............................................................. |
       | x1n-1(x1-xn)  x2n-1(x2-xn)   x3n-1(x3-xn)  ...  xn-1n-1(xn-1-xn)  0  |
    
    разложим этот определитель по последнему столбцу, получим
                | x1(x1-xn)    x2(x2-xn)      x3(x3-xn)    ...   xn-1(xn-1-xn)  |
     = (-1)n+1xn | x12(x1-xn)   x22(x2-xn)     x32(x3-xn)    ...  xn-12(xn-1-xn)  | =
                | ......................................................... |
                | x1n-1(x1-xn)  x2n-1(x2-xn)   x3n-1(x3-xn)  ...  xn-1n-1(xn-1-xn) |
    
    вынесем из каждого столбца общий множитель, получим
                                        | x1    x2      x3    ...   xn-1  |
     = (-1)n+1xn(x1-xn)(x2-xn)...(xn-1-xn) | x12   x22     x32    ...  xn-12  | =
                                        | ............................. |
                                        | x1n-1  x2n-1   x3n-1  ...  xn-1n-1 |
    

    внесем по минусу в каждую из (n-1) скобок, получим мы пришли к определителю того же вида, что был в самом начале, только он стал меньше. Повторяя все действия, получим в самом конце:
    =x1x2...xn Пi<j(xj-xi).

Вверх Домой