ВверхДомой

Kat&Pop - Рефераты - Ряды Фурье (by Kat)

Кукина Екатерина Георгиевна

Ряды Фурье

Ряды Фурье

Глава 1
Введение

1.1  Некоторые сведения о гармоническом анализе

В науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими явлениями, т.е. такими явлениями, которые воспроизводятся в прежнем виде через определенный промежуток времени T, называемый периодом. Примером может служить установившееся движение паровой машины, которая по истечении определенного числа оборотов снова проходит через свое начальное положение, затем явление переменного тока и т.п. Различные величины, связанные с рассматриваемым периодическим явлением, по истечении периода T возвращаются к своим прежним значениям и представляют, следовательно, периодические функции от времени t, характеризуемые равенством j(t+T)=j(t).
Простейшей из периодических функций (если не считать постоянной) является синусоидальная величина: A sin(wt+a), где w есть "частота", связанная с периодом соотношением
w =  2p
T
 .
(1.1)
Из подобных простейших функций могут быть составлены и более сложные. Ясно, что составляющие синусоидальные величины должны быть разных частот, т.к. сложение синусоидальных величин с одной частотой дает снова синусоидальную величину, причем с той же частотой. Возьмем величины вида:
y0=A0,  y1=A1sin(wt+a1),  y2=A2sin(2wt+a2),  y3=A3sin(3wt+a3),ј,
(1.2)
которые, если не считать постоянной, имеют частоты w, 2w, 3w,ј, кратные наименьшей из них, w, и периоды T,  [ 1/2] T, [ 1/3] T,ј. При их сложении получится периодическая функция (с периодом T), но уже существенно отличная от величин типа (2). ( См. Пример №1 в Приложении.)
Теперь естественно поставить обратный вопрос: можно ли данную периодическую функцию j(t) периода T представить виде суммы конечкого или хотя бы бесконечного множества синусоидальных величин вида (2)? Как мы увидим далее, на этот вопрос можно ответить положительно для очень большого класса периодических функций. Иначе можно себе представлять периодическую функцию j(t) как некоторое сложное колебание. Так вот, это сложное колебание разлагается на бесконечное число отдельных гармонических колебаний:
j(t)=A0+A1sin(wt+a1)+A2sin(2wt+a2)+ј=A0+ Ґ
е
n=1 
 Ansin(nwt+an),
(1.3)
причем, A0, A1,ј, a1, a2,ј постоянные числа, имеющие определенные значения для каждой функции, а частота w зависит от периода T функции j(t) по формуле (1).
Немного преобразуем эту формулу. Во-первых, за независимую переменную примем величину x=wt, а потом раскроем все выражения вида sin(nx+an) по формуле суммы синусов, и положим
A0=a0, Ansin(an)=an, Ancos(an)=bn (n=1,2,3ј),
и получим:
j(t)=a0+=a0+ Ґ
е
n=1 
 (ancos(nx)+bnsin(nx)).
(1.4)
В таком виде и будем рассматривать в дальнейшем тригонометрические ряды.
Сам процесс разложения функции на гармоники носит название гармонический анализ.
Важно отметить, что такое разложение часто оказывается очень полезным при исследовании функций как периодических, так и непериодических, но заданных на конечном промежутке.

1.2  Определение коэффициентов по методу Эйлера-Фурье

Для того чтобы установить возможность тригонометрического разложения (4) для заданной функции f(x), имеющей период 2p нужно исходить из определенного набора коэффициентов a0,  a1,  b1ј,an,  bn,ј Прием для их определения придумал во второй половине XVIII века Эйлер и независимо от него в начале XIX века - Фурье.
Будем предполагать функцию f(x) интегрируемой в промежутке [-p, p] - в собственном или в несобственном смысле (в последнем случае будем дополнительно считать, что функция абсолютно интегрируема.) Допустим, что разложение (4) имеет место, и проинтегрируем его почленно от -p до p; мы получим
p
у
х
-p 
 f(x) dx=2pa0+ Ґ
е
n=1 
 й
л 		an p
у
х
-p 
 cos(nx) dx+bn pi
у
х
-p 
 sin(nx) dx щ
ы 		.
как легко видеть,
p
у
х
-p 
 cos(nx) dx=  sin(nx)
n
 к
к 		p

-p 
 =0 и  p
у
х
-p 
 sin(nx) dx=-  cos(nx)
n
 к
к 		p

-p 
 =0
(1.5)
Поэтому все члены под знаком суммы занулятся и мы найдем:
a0=  1
2p
 p
у
х
-p 
 f(x) dx.
(1.6)
Для того, чтобы установить величину am умножим обе части равенства (4), которое все время предполагаем выполненым, на cos(mx) и снова проинтегрируем почленно в том же промежутке. После некоторых преобразований, используя формулы (5), получим
am=  1
p
 p
у
х
-p 
 f(x) cos(mx) dx.  (m=1,2,ј)
(1.7)
Аналогично, умножая предварительно разложение (4) на sin(mx) и затем интегрируя почленно, определяется коэффициент при синусе:
bm=  1
p
 p
у
х
-p 
 f(x) sin(mx) dx.  (m=1,2,ј)
(1.8)
Определение: Формулы (6), (7) и (8) называются формулами Эйлера-Фурье; вычисленные по ним коэффициенты называются коэффициентами Фурье данной функции, а составленный с помощью них тригонометрический ряд (4) - ее рядом Фурье.
Заметим, что сейчас мы доказали лишь то, что если функция f(x), имеющая период 2p, разлагается в равномерно сходящийся ряд (4), то последний обязательно будет ее рядом Фурье.
Таким образом мы с помощью функции f(x) породили ее ряд Фурье:
f(x) ~ a0+ Ґ
е
n=1 
 (an cos(nx)+bn sin(nx)).
(1.9)
Теперь мы, естественно, хотим рассмотреть вопрос, когда же ряд Фурье сходится к функции, является ли он единственным и т.д.

Глава 2
Разложение функций в ряд Фурье

Здесь введем небольшое переобозначение:
am=  1
p
 p
у
х
-p 
 f(x) cos(mx) dx.  (m=0,1,2,ј)
(2.1)

bm=  1
p
 p
у
х
-p 
 f(x) sin(mx) dx.  (m=1,2,ј),
(2.2)
и тогда ряд Фурье функции f(x) запишется как
f(x) ~  a0
2
 + Ґ
е
n=1 
 (an cos(nx)+bn sin(nx)).
(2.3)
Т.е. мы просто вычисляем a0 по общей формуле для am, но записываем его в выражение как [(a0)/2].

2.1  Постановка вопроса, интеграл Дирихле

Для того, чтобы исследовать поведение ряда (3) в какой-нибудь определенной точке x=x0, составим удобное выражение для его частичной суммы:
sn(x)=  a0
2
 + n
е
m=1 
 (amcos(mx0)+bmsin(mx0)).
Подставим вместо am и bm их интегральные выражения (1) и (2) и внесем постоянные sin(mx0), cos(mx0) под знак интеграла и немного преобразуем. Получим:
sn(x0)=  1
p
 p
у
х
-p 
 f(x)  м
н
о 		 1
2
 + n
е
m=1 
 cos(m(u-x0)) ь
э
ю 		 du.
Просуммировав ряд в скобках, окончательно получим:
sn(x0)=  1
p
 p
у
х
-p 
 f(u)
sin((2n+1)  u-x0
2
 )
2sin(  u-x0
2
 )
 du.
(2.4)
Этот интеграл очень важен при исследовании функций и называется он интегралом Дирихле.
Теперь вспоминаем о том, что подинтегральная функция периодическая и интеграл по промежутку [-p,p] равен интегралу по промежутку [x0-p,x0+p]. Теперь производим замену переменной t=u-x0, в конце концов приводим выражение (4) к окончательному выражению для n-ой частичной суммы ряда Фурье:
sn(x0)=  1
p
 p
у
х
0 
 [f(x0+t)+f(x0-t)]
sin( ж
и 		n+  1
2
 ц
ш 		t)
2sin(  1
2
 t)
 dt.
(2.5)
Таким образом, дело сводится к исследованию поведения именно этого интеграла, содержащего параметр n. Своеобразие представляющейся здесь задачи заключается в том, что здесь не может быть использован предельный переход под знаком интеграла, т.к. подинтегральное выражение не имеет предела при n®Ґ.

2.2  Сходимость ряда Фурье. Леммы и теоремы.

Приведем в этом разделе несколько важных теорем (некоторые из них рассмотрим без доказательства).

2.2.1  Лемма Римана

Лемма. Если функция g(x) абсолютно интегрируема в некотором конечном промежутке [a,b], то

lim
p®Ґ 
 b
у
х
a 
 g(t)sin(pt) dt=0
и, аналогично,

lim
p®Ґ 
 b
у
х
a 
 g(t)cos(pt) dt=0.
Если вспомнить формулы (1) и (2), для коэффициентов Фурье, то получим непосредственное следствие из этой леммы:
Следствие. Коэффициенты Фурье am, bm абсолютно интегрируемой функции при m®Ґ стремятся к нулю.

2.2.2  Принцип локализации

Теорема Римана. Поведение ряда Фурье функции f(x) в некоторой точке x0 зависит исключительно от значений, принимаемых функцией в непосредственной близости от рассматриваемой точки, т.е. в сколь угодно малой ее окрестности.
Доказательство. Эта теорема также является непосредственным следствием Леммы Римана.
Возьмем произвольное положительное число d < p, разобьем интеграл (5) на два:  т0p=т0d+тdp . Второй из них переписываем в виде:
 1
p
 p
у
х
d 
  f(x0+t)+f(x0-t)
2sin(  1
2
 t)
 sin( ж
и 		n+  1
2
 ц
ш 		t) dt.
Заметим, что множитель при синусе является абсолютно интегрируемой функцией в промежутке [d,p], т.к. знаменатель 2sin([ 1/2]t) в этом промежутке в нуль не обращается. В таком случае по лемме этот интеграл при n®Ґ стремится к нулю, так что и существование предела частичной суммы ряда Фурье, sn(x0), и его величина целиком определяются поведением одного лишь интеграла
rn(d)=  1
p
 d
у
х
0 
 [f(x0+t)+f(x0-t)] 
sin( ж
и 		n+  1
2
 ц
ш 		t)
2sin(  1
2
 t)
 dt.
(2.6)
Что и доказывает теорему.
Таким образом, если взять две функции, значения которых в произвольно малой окрестности точки x0 совпадают, то как бы они ни вели себя вне этой окрестности, соответствующие этим функциям ряды Фурье ведут себя в этой точке одинаково: либо оба расходятся, либо оба сходятся, причем к одному и тому же числу. При этом коэффициенты Фурье этих функций могут быть совершенно различными.

2.2.3  Признаки Дини и Липшица сходимости рядов Фурье

Вспомним равенство (5). Оно выполнено для каждой функции f(x), удовлетворяющей поставленным условиям. Если, в частности, взять f(x) є 1, то и sn(x) є 1, и из (5) получим, что
1=  2
p
 p
у
х
0 
sin( ж
и 		n+  1
2
 ц
ш 		t)
2sin(  1
2
 t)
 dt.
Умножая обе части этого равенства на постоянное число S0 - предполагаемую сумму нашего ряда, и вычитая результат из (5), найдем
sn(x0)-S0=  1
p
 p
у
х
0 
 j(t) 
sin( ж
и 		n+  1
2
 ц
ш 		t)
2sin(  1
2
 t)
 dt,
(2.7)
где для краткости положено
j(t)=f(x0+t)+f(x0-t)-2S0.
(2.8)
Если мы хотим показать, что S0 действительно является суммой ряда, то для этого нужно доказать, что интеграл (7) при n®Ґ стремится к нулю.
Теперь поймем, что такое S0. Практически важны те случаи, когда функция f(x) непрерывна в точке x0, либо в точке x0 функция терпит разрыв первого рода, так что оба предела f(x0+0) и f(x0-0) существуют. Впредь будем рассматривать только эти случаи и полагаем
S0=  f(x0+0)+f(x0-0)
2
 .
Заметим теперь, что при указанном выборе числа S0 всегда будет

lim
t® +0 
 j(t)=0
(2.9)
Признак Дини. Ряд Фурье функции f(x) в точке x0 сходится к сумме S0, если при некотором h > 0 интеграл
h
у
х
0 
  |j(t)|
t
  dt
существует.
Доказательство. Действительно, при этом предположении сходится и интеграл
p
у
х
0 
  |j(t)|
t
  dt.
Если теперь переписать выражение (7) в виде
 1
p
   p
у
х
0 
  j(t)
t
 ·
 1
2
 t
sin(  1
2
 t)
 ·sin((n+  1
2
 ) t)dt,
то непосредственно по лемме Римана ясно, что оно при n®Ґ стремится к нулю, ток как функция [(j(t))/t], а с нею и [(j(t))/t]·[([ 1/2] t)/(sin([ 1/2]t))] абсолютно интегрируема. Это и доказывает признак Дини.
Из признака Дини можно получить множество других меннее общих признаков. Например, признак Липшица.
Признак Липшица. Ряд Фурье функции f(x) в точке x0, где она непрерывна сходится к сумме f(x0), если для достаточно малых t выполняется неравенство
|f(x0±t)-f(x0)| Ј Lta,
где L и a - положительные постоянные (a Ј 1).

2.2.4  Лемма Дирихле. Признак Дирихле-Жордана.

Наряду с леммой Римана, одной из самых важных лемм, помогающих в изучении ряда Фурье является лемма Дирихле.
Лемма. Если функция g(x) монотонно возрастает, оставаясь ограниченной в промежутке [0, h], где h > 0, то

lim
p®Ґ 
 h
у
х
0 
 g(t)  sin(pt)
t
 dt=  p
2
  g(+0).
Признак Дирихле-Жордана. Ряд Фурье функции f(x) в точке x0 сходится к сумме S0, если в некотором промежутке [x0-h, x0+h] с центром в этой точке функция имеет ограниченное значение.
Доказательство. Мы уже знаем, что поведение частичной суммы ряда Фурье sn(x0) при n®Ґ определяется поведением интеграла rn(d) (см.(6)), где за d, в частности, можно принять и то число h, о котором говорилось выше. Перепишем теперь rn(h)в виде
rn(h)=  1
p
 h
у
х
0 
 [f(x0+t)+f(x0-t)]
 1
2
 t
sin(  1
2
 t)
 ·
sin((n+  1
2
 ) t)
t
 dt
Сумма в квадратных скобках, по предположению, изменяется ограниченно; частное же [([ 1/2] t)/(sin([ 1/2] t))] представляет собой возрастающую функцию. Таким образом, и произведение их имеет ограниченное изменение и, следовательно, представляется в виде разности двух монотонно возрастающих функций. Поскольку лемма Дирихле применима к каждой из них в отдельности, они применима и к их разности. И мы сразу получаем, что

lim
n®Ґ 
 rn(h)=frac1p·  p
2
 [f(x0+0)+f(x0-0)]=  f(x0+0)+f(x0-0)
2
 .
Этим все и доказывается, ведь в точке x0 функция непрерывна, таким образом данная дробь превращается в f(x0).
Заметим, что признаки Дини и Дирихле - два независимых признака, т. е. они не вытекают друг из друга. Также эти признаки не являются необходимыми (только достаточными). См. Приложение, примеры 2 и 3.
Примечание: если ряд Фурье в точке x0 сходится к S0 по признаку Дини, то говорят, что в точке x0 выполнены условия Дини. Если же по признаку Дирихле, то говорят, что выполнены условия Дирихле.

2.3  Разложение в ряд Фурье других функций

Теперь, прояснив немного вопрос о разложении в ряд Фурье периодичных функций с периодом 2p, мы хотим понять, можно ли раскладывать в ряд Фурье другие функции, тоже не редко встречающиеся на практике.

2.3.1  Случай непериодической функции

Чтобы иметь право приложить всю вышеизложенную теорию к произвольной непериодической функции f(x), определенной на отрезке [-p, p] построим для нее вспомогательную функцию f*(x), определенную следующим образом: в промежутке (-p, p] отождествим f*(x) с f(x), затем полагаем f*(-p)=f*(p), а затем распростроняем функцию f*(x) на всю прямую по закону периодичности.
К построенной функции f*(x) мы уже имеем право прикладывать все теоремы, приведенные выше. Однако, если речь идет о точке x0, лежащей строго между -p и p, то при проверке условий этих теорем фактически нам пришлось бы иметь дело только с функцией f(x), а функция f*(x) тут совершенно ни при чем. Т.е. и коэффициенты ряда Фурье можно вычислять тоже непосредственно, не переходя к f*(x). Короче говоря, все доказанное выше непосредственно переносится на заданную функцию f(x), минуя вспомогательную функцию f*(x).
Особого внимания, однако, требуют концы промежутка x=±p. Здесь функция f(x) не совпадает со вспомогательной функцией f*(x). И даже если заданная функция f(x) непрерывна при x=±p, но f(p) № f(-p), то при соблюдении каких-либо из достаточных признаков сходимости ряда Фурье условий суммой этого ряда будет число [(f(-p)+f(p))/2], отличное как от f(-p), так и отf(p).

2.3.2  Случай произвольного промежутка

Предположим, что функция f(x) задана на промежутке [-l,  l] произвольной длины 2l (l > 0). Если прибегнуть к подстановке
x=  ly
p
  (-p Ј y Ј p)
, то получится функция f([ ly/(p)]) от y в промежутке [-p, p], к которой уже приложимы все теоремы, полученные ранее. При соблюдении определенных условий, как было показано ранее, можно разложить эту функцию в ряд Фурье.
f ж
и 		 ly
p
 ц
ш 		=  a0
2
 + Ґ
е
n=1 
 (ancos(ny)+bnsin(ny)),
коэффициенты которого определяются формулами Эйлера-Фурье (см. (1) и (2)).
Произведем обратную замену переменных. Таким образом, ряд Фурье для функции, заданной на произвольном промежутке запишется следующим образом:
f(x)=  a0
2
 + Ґ
е
n=1 
 ж
и 		an cos(  n px
l
 )+bnsin(  npx
l
 ) ц
ш 		,
(2.10)
где
an=  1
l
 l
у
х
-l 
 f(x) cos(  n px
l
 ) dx  (n=0,1,2,3ј);
bn=  1
l
 l
у
х
-l 
 f(x) sin(  n px
l
 ) dx  (n=0,1,2,3ј).
(2.11)

2.3.3  Разложение только по синусам или только по косинусам

Заметим следующее: если заданная на промежутке -p, p интегрируемая (в собственном или не собственном смысле) функция f(x) будет нечетной, то для нее т-pp f(x)dx=0.
Пусть теперь f(x) будет абсолютно интегрируема в промежутке [-p, p] четная функция. Тогда произведение f(x) sinx окажется нечетной функцией, и по замечанию
bn=  1
p
 p
у
х
-p 
 f(x)sinnx dx=0.
Таким образом, ряд Фурье четной функции содержит одни лишь косинусы:
f(x) ~  a0
2
 + Ґ
е
n=1 
 ancosnx,
(2.12)
причем, поскольку функция f(x)cosnx в этом случае будет четной, можем записать:
an=  2
p
 p
у
х
0 
 f(x) cosnx dx  (n=0,1,2,3ј).
(2.13)
Если же функция f(x) будет нечетной, то нечетной будет и функция f(x)cosnx, а функция f(x)sinnx будет четной. Так что ряд Фурье нечетной функции содержит только синусы и имеет вид:
f(x) ~ Ґ
е
n=1 
 bnsinnx,
(2.14)
где
bn=  2
p
 p
у
х
0 
 f(x) sinnx dx  (n=1,2,3ј).
(2.15)
Предположим теперь, что функция f(x) задана лишь в промежутке [0, p]. Желая разложить ее в этом промежутке в ряд Фурье, мы дополним определение нашей функции для значений x в промежутке [-p, 0) произвольным образом, и теперь уже разложим функцию в ряд Фурье. Заметим, что существует два очевидных продолжения функции на отрезок [-p, p]: четным и нечетным образом. При этом в первом случае, как показано выше, ряд Фурье функции будет содержать только косинусы, а во втором случае только синусы. Таким образом, функцию, заданную в промежутке , можно разложить в ряд Фурье по синусам и по косинусам.
См. пример 5 Приложения.

Глава 3
Интеграл Фурье

3.1  Интеграл Фурье как предельный случай ряда Фурье

Если функция f(x) задана в конечном промежутке [-l, l], то при определенных условиях ее можно представить в этом промежутке тригонометрическим рядом:
f(x)=  a0
2
 + Ґ
е
m=1 
 amcos  mpx
l
 +bmsin  mpx
l
 ,
где
an=  1
l
 l
у
х
-l 
 f(x) cos(  n px
l
 ) dx  (n=0,1,2,3ј);
bn=  1
l
 l
у
х
-l 
 f(x) sin(  n px
l
 ) dx  (n=0,1,2,3ј)
(см. главу 2 формулу (11)). Подставляя вместо коэффициентов и их выражения, можно переписать ряд в виде
f(x)=  1
2l
 l
у
х
-l 
 f(u)du + Ґ
е
m=1 
  1
l
 l
у
х
-l 
 f(u)cos ж
и 		 mp
l
 (u-x) ц
ш 		du.
(3.1)
Пусть теперь функция f(x) будет определена во всем бесконечном промежутке (-Ґ, +Ґ). В этом случае, каково бы ни было x, соответствующее значение выразится разложением (1) при любом l > |x|. Переходя здесь к пределу при l®+Ґ, попытаемся установить "предельную формулу" этого разложения.
Про первый член разложения (1) естественно считать, что он стремится к нулю1. Обращаясь же к бесконечному ряду, мы можем рассматривать множители [(mp)/l] под знаком корня как дискретные значения
z1=  p
l
 , z2=  2p
l
 , ј, zm=  mp
l
 ,ј
некоторой переменной z, непрерывно меняющейся от 0 до +Ґ; при этом приращение
Dzm=zm+1-zm=  p
l
 ,
очевидно, стремится к нулю при l® +Ґ. В этих обозначениях наш ряд перепишется так:
 1
p
 Ґ
е
m=1 
 Dzm-1 l
у
х
-l 
 f(u)coszm(u-x) du.
Он напоминает интегральную сумму для функции
 1
p
 Ґ
у
х
-Ґ 
 f(u)cos(z(u-x))du
от z в промежутке [0, +Ґ]. Переходя к пределу при l®+Ґ, вместо ряда получим интеграл; таким путем и приходим к интегральной формуле Фурье:
f(x)=  1
p
 +Ґ
у
х
0 
 dz +Ґ
у
х
-Ґ 
 f(u)cosz(u-x)du.

3.2  Преобразование Фурье

Чтобы ввести очень важное понятие преобразования Фурье, запишем интеграл Фурье в комплексном виде. Для этого заметим следующее. Во-первых, функция F(z)=т-Ґ+Ґf(u)cosz(u-x)du четна по z. Таким образом т-Ґ0 F(z)dz=т0+Ґ F(z) dz, т.е. нетрудно заметить, что
f(x)=  1
2p
 +Ґ
у
х
-Ґ 
 dz +Ґ
у
х
-Ґ 
 f(u)cosz(u-x)du.
(3.2)
Во-вторых, функция F(z)=т-Ґ+Ґf(u)sinz(u-x) нечетна. Т.е.
+Ґ
у
х
-Ґ 
 dz +Ґ
у
х
-Ґ 
 f(u)sinz(u-x)du=0.
(3.3)
Здесь имеется в виду, что внешний несобственный интеграл берется в смысле главного значения по Коши2. Домножим теперь нулевое выражение (3) на i и прибавим его к (2) и получим:
f(x)=  1
2p
 +Ґ
у
х
-Ґ 
 dz +Ґ
у
х
-Ґ 
 f(u)(cosz(u-x)+isinz(u-x))du=
=  1
2p
 +Ґ
у
х
-Ґ 
 dz +Ґ
у
х
-Ґ 
 f(u)eiz(u-x)du=  1
2p
 +Ґ
у
х
-Ґ 
 eizxdz +Ґ
у
х
-Ґ 
 f(u)e-izudu.
(3.4)
Последнее выражение и называется комплексной записью интеграла Фурье. Обозначим теперь т-Ґ+Ґf(u)e-izudu=g(z)=F(f)(Если хотят подчеркнуть, что преобразование Фурье именно данной функции f(x), то употребляют второе обозначение, если же хотят показать, что это некоторая отдельная функция, то употребляют первоеобозначение). Функцию g(z) назовем преобразованием Фурье функции f(x). По преобразованию Фурье функции f(x) нетрудно вычислить саму функцию по формуле обращения:
f(x)=  1
2p
 +Ґ
у
х
-Ґ 
 g(z)eizxdz.
(3.5)

3.3  Заключение.

Кроме рассмотренных в данной курсовой работе теорем существует еще множество других интересных фактов, позволяющих лучше понять сущность ряда и интеграла Фурье. Например, тригонометрическое разложение всегда единственно. Ряды Фурье помогают намного лучше понять периодические функции, т.е. функции, чаще всего встречающиеся в повседневной жизни. Кроме того если функция достаточно гладкая, то уже несколько первых членов ряда Фурье очень хорошо приближают функцию, таким образом, например, можно просто рассматривать всего несколько чисел (коэффициентов ряда Фурье), и вовсе не надо знать полную информацию о функции, что широко используется в наш век компьютерных технологий на практике.
Таким образом изучение рядов Фурье очень важно, а к тому же еще и интересно.

Footnotes:

1Это становится очевидно, например, если предположить, что интеграл т-ҐҐf(u)du сходится.
2т-ҐҐf(x)dx[ def || =]limA® +Ґт-AAf(x)dx.

File translated from TEX by TTH, version 3.33.
On 2 Jun 2003, 21:15.

ВверхДомой