Kat&Pop - Рефераты - Программа ВМШ - отбор.

1. Стороны квадрата отодвинули на 1 см. Площадь между получившимися квадратами составляет 20 см². Найти площадь меньшего квадрата.
2. Петя тратил 1/3 часть своего времени на занятия в школе, 1/4 на игру в футбол, 1/5 на телевизор, 1/6 на еду и 1/7 на сон. Можно ли так жить?
3. Можно ли так подобрать число а, чтобы число а+1/а было целым, а число а²+1/а² целым не было?
4. Сколько существует неравных треугольников, у которых длины всех сторон целые числа, а периметр равен 15?
5. Какое наибольшее число ладей можно расставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга? Тот же вопрос для слонов.
6. Четыре девочки пели песни в концерте. Каждую песню исполняли три девочки. При этом Катя спела 8 песен, а остальные – меньше. Лена спела пять песен, а остальные – больше. Сколько песен было спето?
7. Могут ли быть перпендикулярны биссектрисы двух углов треугольника?
8. Передние покрышки автомобиля выходят из строя через 25000 км, а задние через 15000 км. Какое максимальное расстояние можно проехать на этой машине, если запасных покрышек нет, но передние и задние покрышки можно менять местами?
9. В турнире по "Крестикам–ноликам" каждый из участников сыграл с каждым по разу. За выигрыш давали одно очко, за проигрыш вычитали одно очко, а за ничью давали 0 очков. Петя набрал 20 очков, а Вася набрал 7 очков. Доказать, что в турнире были ничьи.
10. Петечка и Катечка живут в одном подъезде, но Катечка на 3, а Петечка на 9 этаже. Во сколько раз дольше поднимается на свой этаж на лифте Петечка, чем Катечка?
11. Какой угол составляют стрелки часов в 9 часов 20 минут?
12. Галки. На трех деревьях сидело 36 галок. Сперва с первого дерева на второе перелетело 6 галок, Потом со второго на третье перелетело 4 галки. После этого на всех трех деревьях галок осталось поровну. Сколько галок первоначально сидело на каждом дереве?
13. Яблоки и груши. Десять килограмм яблок и 5 килограмм груш стоят столько же, сколько 3 килограмма яблок и 11 килограмм груш. Один гражданин уплатил за 14 килограмм яблок и 6 килограмм груш. Сколько яблок он мог бы купить на эти деньги?
14. Воробьи. На двух кустах сидело 25 воробьев. Сперва с первого куста на второй перелетело 5 воробьев. Затем со второго куста совсем улетело 7 воробьев. После этого на первом кусте воробьев осталось вдвое больше, чем на втором. Сколько воробьев было на каждом кусте первоначально?
15. В тетради написано число. Сумма его цифр равна 28. Если прибавить к нему 1, то получится число с суммой цифр 2. Каким может быть число, написанное в тетради?
16. Можно ли разрезать квадрат на 11 квадратиков?
17. Заменить буквы в слове транспортировка (разные буквы – разные цифры, одинаковые буквы – одинаковые цифры) так, чтобы выполнялось неравенство т>р>а>н<с<п<о<р<т>и>р>о<в<к<а.
18. У скольких двузначных чисел сумма цифр равна 10?
19. Записано 4 числа: 0, 0, 0, 1. За один ход разрешается прибавить по 1 к любым двум из этих чисел. Можно ли за несколько ходов получить 4 одинаковых числа?
20. Имеет ли решение ребус: ШАР+МИР=ПИР ?
21. Существует ли трехзначное число, равное произведению всех своих цифр?
22. Имеются два типа песочных часов. Одни отмеряют 7 минут, а другие 11. Как с их помощью отмерить 15 минут?
23. Студентки Леночка, Валечка и Лялечка готовили обед на общей плите в общежитии. Леночка принесла 5 поленьев дров, Валечка 4 полена, а у Лялечки дров не было. Она угостила своих соседок, дав им 9 яблок. Как Леночка и Валечка должны разделить яблоки по справедливости?
24. На ферме у Джона Джонса на одном лугу пасутся гуси и коровы. От нечего делать Джон посчитал, что у них вместе 16 голов и 42 ноги. Сколько у нерадивого фермера Джона Джонса гусей, а сколько коров?
25. Две сестрички Манечка и Танечка хотят купить книжку. У Манечки не хватает на покупку 5 рублей, а у Танечки – 10. Когда девочки сложили свои деньги, они смогли купить книжку и еще получили здачу – 3 рубля. Сколько денег было у каждой из девочек?
26. Может ли произведение двух дробных чисел быть целым числом?
27. После семи стирок и длина, и ширина, и высота куска мыла "Safeguard" уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска?
28. Бутылка самого чистого в мире кефира стоит 10 долларов, причем кефир на 9 долларов дороже бутылки. Сколько стоит пустая бутылка?
29. В классе 35 учеников. Из них 20 занимаются в математическом кружке, 11 – в биологическом, а 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой?
30. Есть мешок с мукой. Как этой мукой наполнить два таких же мешка?
31. В ряд написаны числа 1 2 3 4 5 6. Разрешается прибавить по единице к любым двум из них. Можно ли за несколько таких операций сделать все числа равными?
32. Если а больше b на 50%, то на сколько процентов b меньше а?
33. На доске написаны числа 5, 7, 11, 19,… Продолжить эту цепочку и написать два последующих числа.
34. Три пятницы некоторого месяца пришлись на четные даты. Какой день недели был 18 числа этого месяца?
35. Встретились три друга: Белов, Чернов и Рыжов. "Замечательно, что один из нас блондин, другой – брюнет, третий – рыжий, но ни у кого нет волос того цвета, на который указывает его фамилия," – заметил брюнет. "Ты прав", – сказал Белов. Какого цвета волосы у Рыжова?
36. С числом, записанным на доске, разрешается производить следующие операции: стереть его последнюю цифру, либо заменить число удвоенным. Как с помощью этих операций из числа 493 получить число 30?
37. Если из некоторого числа вычесть 7, а затем умножить его на 7, то получится тот же результат, как если бы от этого числа отнять 11, а результат умножить на 11. Какое это число?
38. Какое наибольшее число точек могут давать в пересечении 4 прямые на плоскости?
39. Прямоугольный параллелепипед, длина которого 4см., ширина 3см. и высота 2см., покрасили со всех сторон и разрезали на кубические сантиметры. Сколько получилось кубиков, у которых закрашена одна грань, две грани, три грани?
40. Можно ли число 203 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы произведение этих чисел было равно 203?
41. Сосчитайте:1+2–3–4+5+6–7–8+…+301+302.
42. У Пифагора спросили, сколько учеников посещает его школу. "Вот сколько, - ответил Пифагор, - половина изучает математику, четверть природу, седьмая часть проводит время в размышлениях, и, кроме того, есть еще три женщины." Сколько же учеников посещало его школу?
43. От куска провода отрезали 50%, а потом еще 20% остатка. После этого осталось 60 метров провода. Сколько метров провода было в куске первоначально?
44. В клетке сидят фазаны и кролики. У них 19 голов и 62 ноги. Сколько в клетке фазанов, а сколько кроликов?
45. Может ли сумма четырех последовательных натуральных чисел быть простым числом?
46. Числа 90 и 100 разделили на одно и то же число. В первом случае получили остаток 18, а во втором случае - остаток 4. Найдите делитель.
47. Расположите 10 точек на пяти отрезках так, чтобы на каждом отрезке было по 4 точки.
48. Я отпил 1/6 чашечки черного кофе и долил ее молоком. Затем я выпил 1/3 чашечки и снова долил ее молоком. Потом я выпил полчашечки и вновь долил ее молоком. Наконец, я выпил полную чашечку. Чего я выпил больше - кофе или молока?
49. В 1964 году мне исполнилось столько же лет, какова сумма цифр года моего рождения. В каком году я родился и сколько мне было лет в 1964 году?
50. Сто разных фишек поставлены в один ряд. Любые две фишки, стоящие через одну, можно менять местами. Удастся ли переставить фишки в обратном порядке?
51. Найдите сумму: .
52. В кучке 58 камней. Играют двое. За один ход разрешается взять из кучки любое количество камней от 1 до 4. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Кто выиграет при правильной игре? Тот же вопрос, если проигрывает тот, кто берет последний камень.
53. Все жители волшебного острова – либо рыцари, говорящие только правду, либо плуты, которые всегда лгут. Посетивший остров мудрец встретил двух жителей, А и Б, и захотел узнать, кто они. Он спросил у А: “Вы оба рыцари?” А ответил. Мудрец понял, что он не может определить, кто такие А и Б, и задал еще один вопрос: “Вы одного типа?” А опять ответил, и мудрец понял, к какому типу относятся А и Б. К какому же?
54. Три курицы за три дня снесли три яйца. Сколько яиц снесут 12 куриц за 12 дней?
55. Что больше: 88…8´ 33…3 или 44..4´ 66…67 (в каждом числе 2000 цифр)? На сколько?
56. Улитка ползает по клеткам тетрадного листа, переползая за один ход в соседнюю по стороне клетку. Может ли она вернуться в исходную клетку за 13 ходов?
57. Натуральные числа x и y таковы, что 32x=23y. Докажите, что число x+y – составное.
58. На острове находится только три селения: Правдичи, там живут люди которые говорят всегда правду, Кривдичи, там люди только лгут, и Середининонаполовинино, там люди говорят попеременно, то ложь, то правду. В пожарную часть поступил звонок и состоялся такой диалог: